Matemática, perguntado por joaaaoo, 8 meses atrás

A temperatura de uma estufa (em graus Celsius) é determinada, em função da hora ℎ do dia, pela expressão (ℎ)=−ℎ2+22ℎ−85 Responda:

a) em quais horários a temperatura é 0oC?
b) em que período(s) do dia a temperatura é positiva?Justifique sua resposta com o esboço do gráfico.
c) em que horário a temperatura é máxima? Qual é a temperatura máxima?

Soluções para a tarefa

Respondido por SubGui
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Resposta:

\boxed{\bold{\displaystyle{a)~h=5~\mathtt{ou}~h=17~|~b)~T>0~/~ h\in~]5,~17[~|~c)~h_{m\'ax}=11,~T_{m\'ax}=36~\°C}}}

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para respondermos estas alternativas, devemos relembrar algumas propriedades estudadas no gráfico de funções quadráticas.

Seja a temperatura da estufa T, em função da hora do dia h, dada por T(h)=-h^2+22h-85.

a) Em quais horários a temperatura é 0~\°C?

Pergunta-se para quais valores de h a função T(h)=0. Dessa forma, teremos:

-h^2+22h-85=0

Para encontrarmos o valor de h, utilizamos a fórmula resolutiva de uma equação quadrática:

h=\dfrac{-22\pm\sqrt{22^2-4\cdot(-1)\cdot (-85)}}{2\cdot (-1)}

Calcule a potência e multiplique os valores

h=\dfrac{-22\pm\sqrt{484-340}}{-2}

Some os valores no radicando

h=\dfrac{-22\pm\sqrt{144}}{-2}

Sabendo que 144=12^2, temos

h=\dfrac{-22\pm12}{-2}

Separe as soluções

h=\dfrac{-22-12}{-2}~~~\mathtt{ou}~~~h=\dfrac{-22+12}{-2}

Some os valores

h=\dfrac{-34}{-2}~~~\mathtt{ou}~~~h=\dfrac{-10}{-2}

Simplifique as frações

h=17~~~\mathtt{ou}~~~h=5

Dessa forma, a temperatura é igual a zero nas horas h=5 e h=17 do dia.

b) Em que(ais) período(s) do dia a temperatura é positiva?

Veja que queremos o intervalo para o qual a temperatura assume valores positivos. Observe o gráfico em anexo: Temos a parábola que representa a função T(h).

Quando fazemos um estudo do sinal desta função, vemos que a parábola tem concavidade para baixo, dessa forma, os valores que estão entre as raízes da função serão positivos.

Dessa forma, assim como vemos no gráfico, o intervalo que contém as horas do dia para as quais a temperatura é positiva é ]5,~17[.

c) Em que horário a temperatura é máxima? Qual é essa temperatura?

Para isso, devemos relembrar da fórmula para o cálculo do vértice da parábola. Dados os coeficientes da função, assim como utilizamos para calcularmos suas raízes, teremos as coordenadas dos vértices e suas fórmulas:

x_v=-\dfrac{b}{2a}~~~\mathtt{e}~~~y_v=-\dfrac{b^2-4ac}{4a}

Neste caso, ainda pelo estudo do sinal da função, ao vermos que a parábola tem concavidade para baixo, também sabemos que ela tem ponto de máximo. Então, a hora h_{m\'ax}  será a abcissa do vértice e a temperatura T_{m\'ax} será dada pela ordenada do vértice:

h_{m\'ax}=-\dfrac{22}{2\cdot(-1)}~~~\mathtt{e}~~~T_{m\'ax}=-\dfrac{22^2-4\cdot(-1)\cdot(-85)}{4\cdot(-1)}

Calcule as potências e multiplique os valores

h_{m\'ax}=\dfrac{22}{2}~~~\mathtt{e}~~~T_{m\'ax}=\dfrac{484-340}{4}

Some os valores

h_{m\'ax}=\dfrac{22}{2}~~~\mathtt{e}~~~T_{m\'ax}=\dfrac{144}{4}

Simplifique as frações

h_{m\'ax}=11~~~\mathtt{e}~~~T_{m\'ax}=36

Assim, vimos que na hora h=11, a temperatura máxima de 36~\°C é atingida.

Anexos:
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