Question

A temperatura de uma chapa plana é dada por T (x, y) = x3 + y2 , com (T em °C , x e y em cm). a) Partindo do ponto (1, 4) numa direção paralela ao eixo dos x, a temperatura aumenta ou diminui? Qual é essa variação em ºC / cm? b) Essa variação é maior na direção do eixo dos X ou dos Y? Apresente os cálculos. c) Partindo do mesmo ponto (1, 4) numa direção que forma um ângulo de 150o com o eixo dos x, qual é a variação da temperatura em ºC / cm?

Answer 1

Olá!

a) Como a direção é paralela ao eixo x, consideramos que não ocorre variação no eixo y. Portanto, para calcular a varição da temperatura no ponto (1,4), basta derivar a função em relação a x, e fixar o y (tratar como constante):

$T(x,y)=3x + y2\\T_x = 3$

Como o resultado é uma constante, a variação no eixo x é sempre 3 °C/cm independente do ponto de partida. Logo, a temperatura está aumentando constantemente.

b) Para calcular a variação no eixo y, basta fixar o x e derivar em relação a y:

$T(x,y)=3x + y2\\T_y = 2$

Como o resultado foi 2°C/cm, podemos concluir que a variação no eixo x é maior.

c) Um vetor possível que forma um ângulo de 150° com o eixo x é o $\bold{k = (-\sqrt{3},1)}$, para calcular a variação nesse ponto, precisamos primeiro normaliza-lo:

$|| k || = \sqrt{(-\sqrt{3})^2+1^2} = 2$

vetor normalizado é:

$\frac{k}{|| k ||} = (\frac{-\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} )$

A deriva nessa direção será dada por:

$U = T_x.k_1 + T_y.k_2\\U = 3.\frac{-\sqrt{3}}{2}  + 2.\frac{1}{2} = -1,59$

Logo, a taxa de variação nessa direção partindo de qualquer ponto é -1,59 ºC/cm