Question

A temperatura de uma chapa plana é dada por T (x,y) = x 2 + y² , sendo T em oC , x e y em cm, e P = (xo,yo).

Partindo da posição P = (2, 1) :

a) Qual a variação da temperatura partindo de P, na direção paralela ao eixo dos X?





b) E a variação da temperatura partindo de P, na direção paralela ao eixo dos Y?





c) E qual a derivada direcional de f(x,y), partindo da posição P = (2, 1), na direção de um vetor

Answer 1

Olá

Antes de começar, considere que "d" é a derivada parcial.

a) Podemos utilizar o vetor v = (1,0) que é paralelo ao eixo do x.

Daí, precisamos calcular a norma do vetor v, ou seja, 

$||v|| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1$

Agora, precisamos calcular o versor do vetor v, ou seja, vamos dividir o vetor v pela sua norma:

logo, o versor será: 1.i + 0.j = i

Agora vamos calcular as derivadas parciais em relação a x e a y e substituir o ponto P:


$\frac{dT}{d_x} = 2x$
$\frac{dT(2,1)}{d_x} = 4$

$\frac{dT}{d_y} = 2y$
$\frac{dT(P)}{d_y} = 2$

Calculando a taxa de variação:

$D_{v}f(x,y) = \frac{d}{d_x}f(x,y).v_x + \frac{d}{d_y}f(x,y).v_y$
$D_{v}f(x,y) = 4.1 + 2.0$
$D_{v}f(x,y)=4$

b) Um vetor paralelo ao eixo Y é o w = (0,1)

Da mesma forma do item anterior, temos que:

||w|| = 1 e o versor é igual a j.

Daí, temos que:

$\frac{dT}{d_x} = 2x$
$\frac{dT(2,1)}{d_x} = 4$

$\frac{dT}{d_y} = 2y$
$\frac{dT(P)}{d_y}=2$

Portanto,

$D_{w}f(x,y) = \frac{d}{d_x}f(x,y).w_x + \frac{d}{d_y}f(x,y).w_y$
$D_{w}f(x,y) = 4.0 + 2.1$
$D_{w}f(x,y)=2$

c) Agora temos o vetor u = (3,-4).

Daí, a norma de u é:

$||u|| = \sqrt{3^{2}+(-4)^{2}} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

Daí, o versor será: $\frac{3i}{5} - \frac{4j}{5}$

Da mesma forma, temos que:

$\frac{dT}{d_x} = 2x$
$\frac{dT(2,1)}{d_x} = 4$

$\frac{dT}{d_y} = 2y$
$\frac{dT(P)}{d_y} = 2$

Logo, 

$D_{u}f(x,y) = \frac{d}{d_x}f(x,y).u_x + \frac{d}{d_y}f(x,y).u_y$
$D_{u}f(x,y) = 4. \frac{3}{5} - 2. \frac{4}{5}$
$D_{u}f(x,y) = \frac{12}{5} - \frac{8}{5}$
$D_{u}f(x,y) = \frac{4}{5}$