Question

a têmperatura c numa determinado região do espaço pode ser dada pela função t ( x,y,z) = 5x ao quadrado 3xy qual e a aproximidade a máxima taxa de variação temperatura em c no ponto p 3 4 5​

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o valor aproximado da máxima taxa de variação de temperatura em °C é:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\ \parallel \vec{\nabla} f(3, 4, 5)\parallel\,= 35,62\,^{\circ}C\:\:\:}}\end{gathered} }$

Como medir qualquer coisa, incorremos em possíveis, diversos erros - e isso não é diferente para a medição de temperatura - então podemos dizer que a melhor aproximação real da variação de temperatura é de:

                            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf 35^{\circ}C\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

          $\Large\begin{cases} f(x, y, z) = 5x^{2} - 3xy + xyz\\P(3, 4, 5) \end{cases}$

Sabemos que a temperatura que está sendo regida pela referida função polinomial cresce mais rapidamente na direção do vetor gradiente. Desse modo, a maior taxa de variação da temperatura será igual à norma - módulo - do vetor gradiente aplicado ao ponto "P". Então, temos:

• Esquematizar o vetor gradiente da função:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y, z) = \langle f_{x}(x, y, z),\,f_{y}(x, y, z),\,f_{z}(x, y, z)\rangle\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\vec{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\,\vec{k}\end{gathered}$

• Obter a componente "i" do vetor gradiente:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial x}\,\vec{i}= 2\cdot5\cdot x^{2 - 1} - 1\cdot3\cdot x^{1 - 1}\cdot y + 1\cdot x^{1 - 1}\cdot y\cdot z\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 10\cdot x^{1} - 3\cdot x^{0}\cdot y + 1\cdot x^{0}\cdot y\cdot z\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 10\cdot x - 3\cdot1\cdot y + 1\cdot1\cdot y\cdot z\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} =10x - 3y + yz \end{gathered}$

• Obter a componente "j" do vetor gradiente:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial y}\,\vec{j} = -1\cdot 3\cdot x\cdot y^{1 - 1} + 1\cdot x\cdot y^{1 - 1}\cdot z\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -3\cdot x\cdot y^{0} + x\cdot y^{0}\cdot z\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -3\cdot x\cdot1 + x\cdot1\cdot z\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -3x + xz\end{gathered}$

                     

• Obter a componente "k" do vetor gradiente:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial z}\,\vec{k} = 1\cdot x\cdot y\cdot z^{1 - 1}\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = x\cdot y\cdot z^{0}\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = x\cdot y\cdot 1\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = xy\end{gathered}$

• Montar o vetor gradiente:

          $\large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y, z) = (10x - 3y + xz)\,\vec{i} + (-3x + xz)\,\vec{j} + (xy)\,\vec{k}\end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\vec{\nabla} f(x, y, z) = (10x - 3y + xz,\,-3x + xz,\,xy)\end{gathered}$

• Obter o vetor gradiente aplicado ao ponto "P":

           $\large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(3, 4, 5) = (10\cdot3 - 3\cdot4 + 3\cdot5,\,-3\cdot3 + 3\cdot5,\,3\cdot4)\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (30 - 12 + 15,\,-9 + 15,\,12)\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (33,\,6,\,12)\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\vec{\nabla} f(3, 4, 5) = (33,\,6,\,12)\end{gathered}$

• Determinar a norma do vetor gradiente aplicado ao ponto "P":

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \parallel \vec{\nabla} f(3, 4, 5)\parallel \,= \sqrt{33^{2} + 6^{2} + 12^{2}}\end{gathered} }$

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \sqrt{1089 + 36 + 144}\end{gathered}$

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \sqrt{1269}\end{gathered}$

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \cong 35,62\end{gathered}$

✅ Portanto, o resultado é aproximadamente:

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} 35^{\circ}C\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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