Question

“A técnica de datação por carbono -14 foi descoberta nos anos quarenta, por Willard Libby. Ele percebeu que a quantidade de carbono -14 dos tecidos orgânicos mortos diminuía a um ritmo constante com o passar do tempo. Assim, a medição dos valores de carbono -14 em um objeto antigo nos apresenta pistas muito exatas dos anos decorridos desde sua morte.”

Uma amostra de um certo objeto possui no início do processo de decaimento N(0) = 1x10^4 núcleos radioativos de carbono-14. Sabendo que a variação do decaimento de núcleos radioativos de carbono-14 com o tempo (em anos) é N(t) = -N(0)λe-^
λt, em que λ = 1,245x10^-0.A alternativa que corresponde ao número de núcleos radioativos após 3000 anos é:

Escolha uma:
a. 4183.
b. 6883.
c. 6077.
d. 5366.
e. 4738.

Answer 1

Bom dia, boa tarde ou boa noite a quem estiver consultando essa resposta!
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Seja "N(0)'' = 1×10⁴nucleos

Obs: Irei chamar a variável "λ" de y OK?

Seja também,

$N'(t) = -N(0)ye^-^y^t$

Como sabemos pela definição do calculo diferencial e integral

$\\ \frac{dN(t)}{dt} = N'(t) \\ \\ Ou \\ \\ \frac{dN(t)}{dt} = -N(0)ye^-^y^t \\ \\ dN(t) = -N(0)ye^-^y^tdt$

Usando o teorema fundamental do calculo em ambos os lados teremos:

$\int\limits d N(t) {} \, = \int\limits { -N(0)ye^-^y^t} \, dt$

A integral de "dN(t) é N(t) +k"

Como, N(0)y é constante em relação a "t" 

Podemos:

$N(t) + k_{1} = -N(0)y. \int\limits {e^-^y^t} \, dt$

Sabendo que:

$\int\limits {e^n^x} \, dx = \frac{e^n^x}{n} +k$

Então,

$\int\limits {e^-^y^t} \, dt = - \frac{e^-^y^t}{y} + k_{2}$

Logo, nosso calculo fica:


$\\ N(t) + k_{1} = -N(0)y.(- \frac{e-^y^t}{y} + k_{2} ) \\ \\ N(t) = N(0).e^-^y^t+k$

Achando o valor de "K"

Para isso, a questão nos disse quem em t = 0, N(0) = 10⁴

$\\ N(t) = N(0)e^-^y^t+k \\ \\ N(0) = N(0)e^-^0+k \\ \\ N(0) = N(0) +k \\ \\ k = 0$

Por coincidência, nem foi necessário o valor de N(0) para achar "k"

Então,

$\\ N(t) = N(0)e^-^y^t+0 \\ \\ N(t) = N(0)e^-^y^t$

 Substituindo

t = 3000 
y = 1,245.10⁻⁴
N(0) = 10⁴
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Logo,

$\\ N(3000) = 10^4.e ^\frac{-1,245*10^-^4*3000}{} \\ \\ N(3000) = 10^4.e^-^0^,^3^7^3^5 \\ \\ N(3000) = 10^4.(0,6883209863)$

N(3000) ≈ 6.883 Núcleos radioativos
 

Espero ter ajudado!