Question

A taxa de variação de y em relação a x é 3x², e y=20 quando x=2. Achar y quando x=3

Answer 1

Vamos começar "traduzindo" o que está dito no texto.

A taxa de variação de "y" em relação a "x" é dada pela derivada de "y" em relação a "x", logo:

$\dfrac{dy}{dx}~=~3x^2$

Precisamos determinar a função de "y" de "x" para poder utilizar os outros dados e calcular o que é pedido.

Para isso, vamos aplicar a integral nos dois lados da equação:

$\displaystyle\int\dfrac{dy}{dx}~dx~=~\displaystyle\int3x^2~dx\\\\\\y(x)~=~\dfrac{3x^{2+1}}{2+1}~+~K\\\\\\y(x)~=~\dfrac{3x^3}{3}~+~K\\\\\\\boxed{y(x)~=~x^3~+~K}$

Note que é necessário ainda calcular o valor da constante K.

Faremos este calculo substituindo o ponto (x,y)=(2 , 20) dado pelo enunciado:

$y(x)~=~x^3~+~K\\\\\\20~=~2^3 ~+~K\\\\\\20~=~8~+~K\\\\\\K~=~20-8\\\\\\\boxed{K~=~12}$

Assim, temos que a função y(x) é dada por:

$y(x)~=~x^3~+~12$

Por fim, podemos calcular o que é pedido substituindo o valor de x=3 na função:

$y(x)~=~x^3~+~12\\\\\\y(3)~=~3^3~+~12\\\\\\y(3)~=~27~+~12\\\\\\\boxed{y(3)~=~39}$

Resposta: Para x=3, teremos y=39