A taxa de crescimento populacional de um país é de 2% ao ano. Utilizando os dados da tabela abaixo e considerado que essa taxa permanecerá constante, podemos afirmar que a população desse país dobrará em:
N Log N
2, 00 0, 3010
2, 02 0, 3054
2, 04 0, 3096
a)15 anos
b)20 anos
c)25 anos
d)30 anos
e)35 anos
Soluções para a tarefa
Respondido por
38
Vamos lá.
Veja, Erica, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se para informar com quantos anos a população de uma cidade dobrará, sabendo-se que o crescimento dessa população é de 2% ao ano.
ii) Note que, para darmos a resposta, foi utilizada a seguinte tabela:
Valor de N - valor de log(N)
........2 .............. 0,3010
....2,02.............. 0,3054
....2,04............. 0,3096
iii) Agora vamos armar a expressão utilizando a lei de formação. Ou seja, a população (P) de uma cidade tem um aumento anual de 2% (ou 0,02). Queremos saber com quantos anos essa população dobrará (ou seja: será igual a "2P").
Note que esse raciocínio funciona como se você estivesse pedindo o montante de um capital que tem juros compostos de 2% ao ano e quer saber qual é o montante após "n" anos [lembre-se que a fórmula de montante, em juros compostos, é dado assim: M = C*(1+i)ⁿ]. Assim,utilizando esse mesmo raciocínio, teremos:
2P = P*(1+0,02)ⁿ ---- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo, ficaremos:
P*(1+0,02)ⁿ = 2P ----- dividindo-se ambos os membros por "P", iremos ficar apenas com:
(1+0,02)ⁿ = 2 ----- desenvolvendo, teremos que:
(1,02)ⁿ = 2 ---- agora vamos aplicar logaritmo (na base 10) aos dois membros, com o que ficaremos assim:
log (1,02)ⁿ = log (2) ---- passando o expoente "n" multiplicando o respectivo log, teremos:
n*log (1,02) = log (2) ---- note que 1,02 = 102/100. Assim, teremos:
n*log (102/100) = log (2) --- atente que poderemos multiplicar numerador e denominador no fator (102/100) por um mesmo número que o resultado não se alterará. Então iremos ficar assim, ao multiplicarmos por "2" numerador e denominador do fator (102/100):
n*log(204/200) = log (2) ---- note que também poderemos dividir, por um mesmo número, o numerador e o denominador do fator "204/200" , que também o resultado não se alterará. Então, vamos dividir por "100" o numerador e o denominador do fator "204/200". Fazendo isso, iremos ficar com:
n*log (2,04/2) = log (2) ---- note que poderemos transformar a divisão vista em log(2,04/2) em subtração (que é uma propriedade logarítmica), com o que ficaremos assim:
n*[log(2,04) - log(2)] = log(2) ---- note que fizemos tudo pra aproveitar os valores da tabela dada. Veja que fizemos isso pra podermos obter "2,04", que é um dos valores da tabela. Você notou?
Como já foi dado que log (2,04) = 0,3096 e que log (2) = 0,3010, então vamos fazer as devidas substituições, com o que ficaremos:
n*[0,3096 - 0,3010] = 0,3010 ---- como [0,3096 - 0,3010 = 0,0086], teremos:
n*[0,0086] = 0,3010 --- ou, o que é a mesma coisa:
0,0086n = 0,3010 ----- isolando "n", teremos:
n = 0,3010/0,0086 --- note que esta divisão dá exatamente igual a "35". Logo:
n = 35 anos <--- Esta é a resposta. Opção "e". Ou seja, a população dessa cidade dobrará em 35 anos, se ela mantiver o aumento de 2% da sua população anualmente.
É isso aí.
Deu pra entender bem todo o nosso passo a passo?
OK?
Adjemir.
Veja, Erica, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se para informar com quantos anos a população de uma cidade dobrará, sabendo-se que o crescimento dessa população é de 2% ao ano.
ii) Note que, para darmos a resposta, foi utilizada a seguinte tabela:
Valor de N - valor de log(N)
........2 .............. 0,3010
....2,02.............. 0,3054
....2,04............. 0,3096
iii) Agora vamos armar a expressão utilizando a lei de formação. Ou seja, a população (P) de uma cidade tem um aumento anual de 2% (ou 0,02). Queremos saber com quantos anos essa população dobrará (ou seja: será igual a "2P").
Note que esse raciocínio funciona como se você estivesse pedindo o montante de um capital que tem juros compostos de 2% ao ano e quer saber qual é o montante após "n" anos [lembre-se que a fórmula de montante, em juros compostos, é dado assim: M = C*(1+i)ⁿ]. Assim,utilizando esse mesmo raciocínio, teremos:
2P = P*(1+0,02)ⁿ ---- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo, ficaremos:
P*(1+0,02)ⁿ = 2P ----- dividindo-se ambos os membros por "P", iremos ficar apenas com:
(1+0,02)ⁿ = 2 ----- desenvolvendo, teremos que:
(1,02)ⁿ = 2 ---- agora vamos aplicar logaritmo (na base 10) aos dois membros, com o que ficaremos assim:
log (1,02)ⁿ = log (2) ---- passando o expoente "n" multiplicando o respectivo log, teremos:
n*log (1,02) = log (2) ---- note que 1,02 = 102/100. Assim, teremos:
n*log (102/100) = log (2) --- atente que poderemos multiplicar numerador e denominador no fator (102/100) por um mesmo número que o resultado não se alterará. Então iremos ficar assim, ao multiplicarmos por "2" numerador e denominador do fator (102/100):
n*log(204/200) = log (2) ---- note que também poderemos dividir, por um mesmo número, o numerador e o denominador do fator "204/200" , que também o resultado não se alterará. Então, vamos dividir por "100" o numerador e o denominador do fator "204/200". Fazendo isso, iremos ficar com:
n*log (2,04/2) = log (2) ---- note que poderemos transformar a divisão vista em log(2,04/2) em subtração (que é uma propriedade logarítmica), com o que ficaremos assim:
n*[log(2,04) - log(2)] = log(2) ---- note que fizemos tudo pra aproveitar os valores da tabela dada. Veja que fizemos isso pra podermos obter "2,04", que é um dos valores da tabela. Você notou?
Como já foi dado que log (2,04) = 0,3096 e que log (2) = 0,3010, então vamos fazer as devidas substituições, com o que ficaremos:
n*[0,3096 - 0,3010] = 0,3010 ---- como [0,3096 - 0,3010 = 0,0086], teremos:
n*[0,0086] = 0,3010 --- ou, o que é a mesma coisa:
0,0086n = 0,3010 ----- isolando "n", teremos:
n = 0,3010/0,0086 --- note que esta divisão dá exatamente igual a "35". Logo:
n = 35 anos <--- Esta é a resposta. Opção "e". Ou seja, a população dessa cidade dobrará em 35 anos, se ela mantiver o aumento de 2% da sua população anualmente.
É isso aí.
Deu pra entender bem todo o nosso passo a passo?
OK?
Adjemir.
adjemir:
Continuando ..... Apenas pra ficar melhor pra você. Veja que quando você tem, por exemplo, a seguinte expressão: 2x = 4k e você quer achar o valor de "x" o que você faz? Você faz assim: x = 4k/2 ---> x = 2k. E note que isto é apenas uma consequência da divisão dos dois membros por um mesmo valor, contanto que fique no primeiro membro apenas a incógnita com que você quer trabalhar. Not
no caso é corta o 2P/P=P*(1+0, 02)n?
Continuando..... Note que no nosso exemplo acima, de 2x = 4k, o que fizemos, na verdade, foi dividir ambos os membros por "2" pra poder isolar "x". Veja: 2x/2 = 4k/2 ---> x = 2k . Na questão sua, quando dividimos ambos os membros pro "P", quando tínhamos isto: P*(1+0,02)ⁿ = 2P, na verdade estávamos isolando a incógnita (1+0,02)ⁿ, o que equivale a dividirmos por um mesmo número os dois membros a fim de isolarmos a incógnita com que queremos trabalhar, entendeu?
log2=n*log (1, 02) como foi realizado
Agora respondendo ao seu último comentário, quando você perguntou se no caso é cortar o 2P/P = P*(1+0,02)ⁿ. Veja que quando dividimos os dois membros por "P" ele ficará assim: 2P/P = P*(1+0,02)ⁿ/P. Note que cada membro está dividido por "P". Agora é só ir no 1º membro, que é: 2P/P fica só o "2", pois dividimos "P" do numerador e "P" do denominador; e fazendo a mesma coisa no 2º membro, que é (P*(1+0,02ⁿ)/P ---> dividimos "P" do numerador e "P" do denominador e vai ficar apenas (1+0,02)ⁿ., OK?
Respondendo ao seu último comentário que é a pergunta de como foi realizado isto: log(2) = n*log(1,02). Veja que antes de chegar no que está aí em cima tínhamos isto: (1,02)ⁿ = 2 ---> agora basta você aplicar logaritmo a ambos os membros, ficando: log(1,02)ⁿ = log(2) ----> como todo expoente passa multiplicando o respectivo log (isto é uma propriedade logarítmica), então ficou: n*log(1,02) = log(2). Deu pra entender mais esta parte?
Agora estou saindo do computador. Mas se continuar alguma dúvida pode colocar aqui nos comentários que, na volta eu procurarei dirimila, ok?
Erica, cremos que todas as suas dúvidas foram dirimidas, pois você não colocou mais nenhuma. É isso mesmo? Se for isso mesmo, então sentimo-nos gratificados por haver conseguido tirar todas as suas dúvidas. Continue a dispor e um cordial abraço.
Agradecemos à moderadora Camponesa pela aprovação da nossa resposta. Um cordial abraço.
E aí, Erica, era isso mesmo o que você estava esperando?
Respondido por
20
Podemos afirmar que a população desse país dobrará em 35 anos.
Vamos considerar que P₀ é a população inicial.
Como a taxa de crescimento é de 2% ao ano, então:
No primeiro ano, teremos P₁ = P₀.(1,02);
No segundo ano, teremos P₂ = P₀.(1,02)²;
No terceiro ano, teremos P₃ = P₀.(1,02)³;
No ano x, teremos Pₓ = P₀.(1,02)ˣ.
Queremos saber quando a população dobrará, ou seja, Pₓ = 2.P₀.
Fazendo essa substituição, obtemos a equação:
2.P₀ = P₀.(1,02)ˣ
2 = (1,02)ˣ.
Para resolver essa equação exponencial, podemos dizer que:
log(2) = log(1,02)ˣ.
Existe uma propriedade de logaritmo que diz:
- logₐ(xⁿ) = n.logₐ(x).
Dito isso:
log(2) = x.log(1,02).
Observe que 2,04/2 = 1,02. Então:
log(2) = x.log(2,04/2).
A propriedade da subtração de logaritmos de mesma base nos diz que:
- logₐ(x/y) = logₐ(x) - logₐ(y).
Assim:
log(2) = x(log(2,04) - log(2)).
Com os valores da tabela, podemos concluir que:
0,3010 = x(0,3096 - 0,3010)
0,3010 = 0,0086x
x = 35 anos.
Alternativa correta: letra e).
Para mais informações sobre logaritmos: https://brainly.com.br/tarefa/19142498
Anexos:
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