Question

A tangente, no ponto P, à circunferfência de centro O e raio 3 é paralela à reta
y = −2x + 1. Quais são as coordenadas de P?

Answer 1

Olá.

A circunferência com centro em $(x_c,y_c)$ e raio r tem a seguinte equação:

$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$

Para um centro em O(0,0) e raio 3, segue que:

$x^2+y^2=9$

A reta dada é $y = -2x+1$. O raciocínio que precisamos para seguir em frente é: "Como posso pegar o ponto tangente À circunferência de uma reta paralela". Oras - Se é tangente, então a(s) reta(s) desejadas terá(ão) o mesmo coeficiente angular $m=-2$ que a reta dada. A equação da reta desejada é, na forma geral:

$y=-2x-n\iff 2x+y+n=0$

Mas como descobrimos o valor n? Basta que a sua distância ao ponto O seja 3(Pois todo ponto que está a 3 de distância da origem está na circunferência). A inclinação já foi imposta!

A distância ponto-reta é calculada, para uma reta de equação $Ax+By+C=0$, do seguinte modo, para um ponto Q de coordenadas $Q(x_Q,y_Q)$:

$d_{P,r}=\dfrac{|Ax_Q+By_Q+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Substituindo o que temos:

$3=\dfrac{|2\cdot 0+1\cdot 0+n|}{\sqrt{2^2+1^2}}\\\\ |n|=3\cdot \sqrt{5}\\\\ \boxed{n_1 =3\sqrt{5}; ~~ n_2 =-3\sqrt{5}}$

Assim temos as retas. Elas são:

$r_{1,2}:~2x+y\pm 3\sqrt{5}=0$

Mas e agora? Como fazemos? Pensei em dois modos:

1. Descobrimos a reta perpendicular À nossa reta dada que passa pela origem(A origem é o raio, então será uma reta radial. Depois de acharmos essa reta, sua interseção com a reta r resultará no ponto de interseção);
2. Substituímos a equação da reta procurada na equação da circunferência. Isto é basicamente encontrar os pontos de interseção.

Para enriquecer o tópico, farei dos dois modos. Escolha o que preferir.

Modo 1:

Retas perpendiculares tem a seguinte relação de coeficientes angulares:

$m_r \cdot m_s =-1$. Como o coeficiente de r é -2, o coeficiente angular de s(a reta perpendicular será $\frac{1}{2}$. Como ela passa pela origem, sua equação é:

$y-y_0=m_s (x-x_0)\Rightarrow y-0=\frac{1}{2} (x-0)\\\\ s: y=\frac{x}{2}$

Substituímos $y=\frac{x}{2}$ na equação de r e obtemos a interseção:

$2x+y\pm 3\sqrt5=0\\\\2x+ \left(\dfrac{x}{2}\right)\pm 3\sqrt5 =0\\\\\dfrac{5x}{2}=\mp 3\sqrt5\\\\ x=\mp\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$

Como $y=\frac{x}{2}$, é imediato que $y=\mp\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$

Assim, não há apenas um ponto P. Vou chamar de P e Q. Seus valores são:

$\boxed{P\left(\dfrac{6\sqrt{5}}{5}; \dfrac{3\sqrt{5}}{2}\right)~~~e~~~Q\left(-\dfrac{6\sqrt{5}}{5}; -\dfrac{3\sqrt{5}}{2}\right)}$

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Modo 2:

Isolamos um a variável a equação das retas r. y por exemplo.

$y=-2x\pm 3\sqrt{5}$.

Substituímos na equação da circunferência: $x^2+y^2=9$.

$x^2+(-2x\pm 3\sqrt5)^2=9\\\\ x^2 +4x^2 \mp 12\sqrt{5}x+45=9\\\\ 5x^2 \mp 12\sqrt{5}x+36=0$

Vamos dividir tudo por 5.

$x^2\mp\dfrac{12\sqrt5}{5}x +\dfrac{36}{5}=0\\\\ x^2 \mp 2\cdot 1\cdot \left(\dfrac{6\sqrt5}{5}\right)+\left(\dfrac{6}{\sqrt5}\right)^2 =0$

Veja que $6\sqrt{5}/5 = 6/\sqrt5$, então isto é um trinômio quadrado perfeito. Resolvendo fica:

$\left(x\mp\dfrac{6\sqrt5}{5}\right)^2 = 0$

Então segue que: $x_{P,Q}=\pm \dfrac{6\sqrt5}{5}$

Jogando na equação da reta, temos:

$y=-2x\pm 3\sqrt{5}$

$y=\mp\dfrac{12\sqrt5}{5}\pm 3\sqrt{5}\\\\y_{P,Q}=\pm\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$

Os pontos são(repare que os ± estão na mesma ordem, então os sinais são iguais):

$P(x_P,y_Q) ~~ ~Q(x_Q;~y_Q)\\\\ P\left(\dfrac{6\sqrt5}{5};\dfrac{3\sqrt5}{5}\right)~~~~ e~~~~ Q\left(-\dfrac{6\sqrt5}{5};-\dfrac{3\sqrt5}{5}\right)$

Por favor note que aqui eu optei por resolver as duas equações do segundo grau ao mesmo tempo. Você poderia tranquilamente separar em duas, que seria o equivalente a substituir primeiro $y=-2x+ 3\sqrt{5}$ na equação do círculo, resolver e , depois, $y=-2x- 3\sqrt{5}$ e resolver novamente. Para o método 1 também pode fazer separado e eu fiz junto para economizar caracteres da resposta.

Ambos os modos dão o mesmo resultado. O modo 2 é mais fácil de pensar, mas mecanicamente mais trabalhoso(você tradicionalmente resolveria a equação do segundo grau por Bhaskara). O modo 1 é mais fácil de resolver, mas precisa da sacada de que uma reta tangente a uma circunferência é perpendicular a uma reta que sai do raio e passa pelo ponto de tangência. Escolha o que mais lhe agradar, mas creio que o método 1 seja mais simples e elegante.

No anexo está uma visualização gráfica do problema com os pontos encontrados.