a tangente do ângulo formado pelas retas r.3x-y+8=0 e s:2x-y+9=0 é
Soluções para a tarefa
A tangente do ângulo formado pelas retas r: 3x - y + 8 = 0 e s: 2x - y + 9 = 0 é 1/7.
O vetor normal da reta r: 3x - y + 8 = 0 é u = (3,-1). O vetor normal da reta s: 2x - y + 9 = 0 é v = (2,-1).
Calculando o produto interno entre os vetores u e v, obtemos:
<u,v> = 3.2 + (-1).(-1)
<u,v> = 6 + 1
<u,v> = 7.
A norma do vetor u é igual a:
||u||² = 3² + (-1)²
||u||² = 9 + 1
||u||² = 10
||u|| = √10.
A norma do vetor v é igual a:
||v||² = 2² + (-1)²
||v||² = 4 + 1
||v||² = 5
||v|| = √5.
O ângulo entre os vetores u e v é calculado pela fórmula:
- .
Então, o cosseno é igual a:
.
A relação fundamental da trigonometria é definida por:
- sen²(θ) + cos²(θ) = 1.
Logo, o seno é igual a:
sen²(θ) + (7/√50)² = 1
sen²(θ) + 49/50 = 1
sen²(θ) = 1/50
sen(θ) = 1/√50.
A tangente é igual à razão entre seno e cosseno. Portanto, a tangente do ângulo entre as retas é igual a:
tg(θ) = 1/7.
Resposta:
tg(θ) = 1/7.
Explicação passo-a-passo:
A tangente do ângulo formado pelas retas r: 3x - y + 8 = 0 e s: 2x - y + 9 = 0 é 1/7.
O vetor normal da reta r: 3x - y + 8 = 0 é u = (3,-1). O vetor normal da reta s: 2x - y + 9 = 0 é v = (2,-1).
Calculando o produto interno entre os vetores u e v, obtemos:
<u,v> = 3.2 + (-1).(-1)
<u,v> = 6 + 1
<u,v> = 7.
A norma do vetor u é igual a:
||u||² = 3² + (-1)²
||u||² = 9 + 1
||u||² = 10
||u|| = √10.
A norma do vetor v é igual a:
||v||² = 2² + (-1)²
||v||² = 4 + 1
||v||² = 5
||v|| = √5.
O ângulo entre os vetores u e v é calculado pela fórmula:
cos(\theta)=\frac{ < u,v > }{||u||||v||}cos(θ)=∣∣u∣∣∣∣v∣∣<u,v> .
Então, o cosseno é igual a:
cos(\theta)=\frac{7}{\sqrt{10}\sqrt{5}}cos(θ)=1057
cos(\theta)=\frac{7}{\sqrt{50}}cos(θ)=507 .
A relação fundamental da trigonometria é definida por:
sen²(θ) + cos²(θ) = 1.
Logo, o seno é igual a:
sen²(θ) + (7/√50)² = 1
sen²(θ) + 49/50 = 1
sen²(θ) = 1/50
sen(θ) = 1/√50.
A tangente é igual à razão entre seno e cosseno. Portanto, a tangente do ângulo entre as retas é igual a:
tg(θ) = 1/7.