Question

A tabela abaixo apresenta valores que mostram como o comprimento de uma

barra de aço varia conforme a temperatura:




Determine:

a) O coeficiente de correlação;

b) A reta ajustada a essa correlação;

c) O valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 18°C;

d) O valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 35°C.​

Answer 1

a) $\alpha =0.5600$

b) $0.56x+997.4$

c)Em 18 ºC, o comprimeno da barra vale $y= 1007.48mm$

d)Em 35ºC o comprimeno da barra vale $y=1017$

usando os conceitos de dilatação térmica linear e os conceitos do método dos mínimos quadrados usado para o ajuste de curvas, podemos encontrar o coeficiente de dilatação =

e a reta ajustada =

A dilatação térmica linear é uma equação que descreve a variação de comprimento de um fio ou barra ao ser aquecido e é descrito pela seguinte equação:

$\delta L = L - L+0$

sabemos por observação que $\Delta L \propto \Delta T$ e portanto,  $\Delta L = \alpha \Delta T$

sendo $\alpha$ o coeficiente da dilatação térmica linear.

$L_0$ é o comprimento inicial. Que é a interseção da reta com o eixo Y (assumindo que seja um gráfico Y=Comprimento x X=Temperatura).

O valor de $\alpha$ é obtido pela fórmula dos minimos quadrados que é usada para encontrar os valores $a$ e $b$ tais que $ax+b$ descreva a curva que melhor se ajusta aos pontos.

A demonstração desta fórmula requer conhecimentos de derivadas parciais. Mas as fórmulas em questão são:

$\alpha= \frac{\sum_i^N{(x_i - \bar x)(y_i - \bar y ) } }{ \sum_i^N{(x_i - \bar x)^2 } }$

$b = \bar y - a \bar x$

onde $\bar x = 20$ e $\bar y= 1008.6$ são as médias de x e y.

Substituindo os valores nas equações acima, obtemos:

Letra a) O Coeficiente de dilatação linear vale $\alpha =0.5600$

Letra b) A reta ajustada é  $x=\alpha T+L_0= 0.56x+997.4$

Pois $L_0 =\bar y - \alpha \bar x = 1008.6-0.5600*20 = 997.4$

Letra c) Em 18 ºC, o comprimeno da barra vale $y= 0.56\times 18+997.4 =1007.48$

Letra d) Em 35ºC o comprimeno da barra vale $y= 0.56\times 35+997.4 =1017</p><p>$