Question

a sombra de um prédio, em um terreno plano,em uma determinada hora do dia, mede 15m. nesse mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de altura 5 m mede 3m. a altura do prédio, em metros, é?
A) 25
B) 29
C) 30
D) 45
E) 75

Answer 1

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$\Huge\green{\boxed{\rm~~~\red{A)}~\blue{ 25 }~~~}}$

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$\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O\ PASSO{-}A{-}PASSO\ \ \ }}$✍

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☺lá, Marta, como tens passado nestes tempos de quarentena⁉ E os estudos à distância, como vão⁉ Espero que bem❗ Acompanhe a resolução abaixo, feita através de algumas manipulações algébricas, e após o resultado você encontrará resumo sobre Semelhança de Triângulos que talvez te ajude com exercícios semelhantes no futuro. ✌

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☔ Inicialmente devemos constatar que a base do poste, o topo do poste e a ponta de sua sombra formam um triângulo retângulo em que o ângulo da base depende exclusivamente da posição do sol (chamemos este ângulo de α).

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$\setlength{\unitlength}{.6in}\begin{picture}(7,5)(0,0)\linethickness{1pt}\put(0,0){\line(1,0){3}}\put(2.98,0.01){\line(0,1){2.2}}\put(0,0){\line(4,3){3}}\put(0.1,-0.4){A}\put(2.9,-0.4){ \sf B }\qbezier(0.7,0.5)(1,0.5)(1,0)\put(0.5,0.1){ \alpha }\put(2.8,2.4){D}\put(2.58,0.4){\line(1,0){0.4}}\put(2.58,0){\line(0,1){0.4}}\put(2.8,0.2){\circle*{0.1}}\put(3.3,1){ \sf poste }\put(1.3,-0.4){ \sf sombra }\end{picture}$

$\sf (Esta~imagem~n\tilde{a}o~\acute{e}~visualiz\acute{a}vel~pelo~App~Brainly$ ☹ )

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☔ Devemos constatar também que a base do prédio, o topo do prédio e a ponta de sua sombra formam outro triângulo retângulo em que o ângulo da base também depende exclusivamente da posição do sol (chamemos este ângulo de β).

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$\setlength{\unitlength}{.6in}\begin{picture}(7,5)(0,0)\linethickness{1pt}\put(0,0){\line(1,0){4}}\put(4,0){\line(0,1){3}}\put(0,0){\line(4,3){4}}\put(0.1,-0.4){A}\put(4,-0.4){ \sf C }\qbezier(0.7,0.5)(1,0.5)(1,0)\put(0.5,0.1){ \beta }\put(4,3.3){E}\put(3.6,0){\line(0,1){0.4}}\put(3.6,0.4){\line(1,0){0.4}}\put(3.8,0.2){\circle*{0.1}}\put(4.2,1.3){ \sf pr\acute{e}dio }\put(1.7,-0.4){ \sf sombra }\end{picture}$

$\sf (Esta~imagem~n\tilde{a}o~\acute{e}~visualiz\acute{a}vel~pelo~App~Brainly$ ☹ )

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☔ Como estamos analisando para um mesmo instante de tempo e considerando que a distância até sol é tão absurdamente maior que a distância entre o poste e o prédio, então podemos considerar que α = β. Portanto sabemos que ambos os triângulos retângulos são também semelhantes. Com esta informação sabemos que

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➡ $\large\blue{\sf tan(\alpha) = tan(\beta)}$

➡ $\large\blue{\sf \dfrac{x}{15} = \dfrac{5}{3}}$

➡ $\large\blue{\sf x = \dfrac{15 \cdot 5}{3}}$

➡ $\large\blue{\sf x = \dfrac{75}{3}}$

➡ $\large\blue{\sf x = 25~m}$

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$\Huge\green{\boxed{\rm~~~\red{A)}~\blue{ 25 }~~~}}$ ✅

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$\Large\red{\sf SEMELHANC_{\!\!\!,}A~DE~TRI\hat{A}NGULOS}$

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$\setlength{\unitlength}{.6in}\begin{picture}(7,5)(0,0)\linethickness{1pt}\put(0,0){\line(1,0){4}}\put(4,0){\line(0,1){3}}\put(2.98,0.01){\line(0,1){2.2}}\put(0,0){\line(4,3){4}}\put(0.1,-0.4){A}\put(2.9,-0.4){ \sf B~~~~~~~~~~~~C }\qbezier(0.7,0.5)(1,0.5)(1,0)\put(0.5,0.1){ \alpha }\put(3.9,3.3){E}\put(2.8,2.4){D}\put(2.58,0.4){\line(1,0){0.4}}\put(2.58,0){\line(0,1){0.4}}\put(3.6,0){\line(0,1){0.4}}\put(3.6,0.4){\line(1,0){0.4}}\put(2.8,0.2){\circle*{0.1}}\put(3.8,0.2){\circle*{0.1}}\end{picture}$

$\sf (Esta~imagem~n\tilde{a}o~\acute{e}~visualiz\acute{a}vel~pelo~App~Brainly$ ☹ )

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☔ Temos pelas propriedades trigonométricas que, sendo BAD um triângulo semelhante à CAE (tendo ambos um ângulo reto e outro ângulo α então certamente terão o terceiro ângulo congruente e portanto uma semelhança A-A-A), então

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\rm sen(\alpha) = \dfrac{(\overline{DB})}{(\overline{AD})} = \dfrac{(\overline{EC})}{(\overline{AE})} }&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\rm cos(\alpha) = \dfrac{(\overline{AB})}{(\overline{AD})} = \dfrac{(\overline{AC})}{(\overline{AE})} }&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\rm tan(\alpha) = \dfrac{(\overline{DB})}{(\overline{AB})} = \dfrac{(\overline{EC})}{(\overline{AC})} }&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

☕ $\bf\Large\blue{Bons\ estudos.}$

($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$