Question

a soma y dos x primeiros números inteiros positivos é uma função dada pela lei y= $\frac{1}{2} x^{2}$ + $\frac{1}{2} x.$
a) qual a soma dos 40 primeiros números inteiros positivos?

b) determine a quantidade de números inteiros positivos quando a soma é 210.$\frac{1}{2} x^{2}$

Answer 1

a)  y(x) = 1/2 x² + 1/2 x = x²/2 + x/2 = (x²+x)/2

y(40) = (40²+40)/2
y(40) = (1600+40)/2
y(40) = (1640)/2
y(40) = 820

Resposta: y(40) = 820

b) y(x) = 210

210 = (x²+x)/2
2·210 = x²+x
420 = x²+x
x²+x-420 = 0

Sabendo que uma equação do 2º grau é da forma ax²+bx+c, temos:

x²+x-420 = 0 sendo a=1, b=1 e c=-420
Δ = b²-4ac = 1²-4(1)(-420) = 1+1680 = 1681

x'=(-b+√Δ)/2a = (-1+√1681)/2(1) = (-1+41)/2 = 40/2 = 20
x''=(-b-√Δ)/2a = (-1-√1681)/2(1) = (-1-41)/2 = -42/2 = -21 

x'=20
x''=-21 ⇒ não é solução, número inteiro não positivo

Resposta: São 20 números inteiros positivos

Answer 2

$y = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2}x$

Soma dos 40 primeiros números:

$x = 40 \\ \\ y = \frac{1}{2}.40^2 + \frac{1}{2} .40 \\ \\ y = \frac{1}{2}.1600+ 20 \\ \\ y = 800+20 \\ \\ y = 820$

Quantidade de números inteiros positivos, quando y = 210:

$\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x = 210 \\ \\ x^2 + x = 210.2 \\ \\ x^2 +x = 420 \\ \\ x^2 + x -420 = 0 \\ \\ x = \frac{-1\pm \sqrt{1^2 - 4.1.(-420)} }{2.1} \\ \\ x' = 20$

$x" = -21$ (Não serve)

Portanto, quando a soma for 210, o a quantidade de números será 20.