Question

A soma Sn dos n primeiros termos de uma P.A é 3n2, ou seja Sn = 3n2 , para qualquer que seja n, determine a razão e a5 dessa P.A.?​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\mathtt{r = 6}} \, \texttt{e} \, \boxed{\mathtt{a_5 = 27}}$

Explicação passo-a-passo:

Sabemos que:

$\displaystyle \mathtt{S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n}$

Com efeito, temos que:

$\\ \displaystyle \mathsf{S_1 = a_1} \\\\ \mathsf{3 \cdot 1^2 = a_1} \\\\ \boxed{\mathsf{a_1 = 3}}$

Por conseguinte,

$\\ \displaystyle \mathsf{S_n = 3n^2} \\\\ \mathsf{\frac{(a_1 + a_n)n}{2} = 3n^2} \\\\ \mathsf{\frac{a_1 + a_n}{2} = 3n} \\\\ \mathsf{a_1 + a_n = 6n}$

Afim de determinar a razão, substituímos n por 2, veja:

$\displaystyle \mathsf{a_1 + a_n = 6n} \\\\ \mathsf{a_1 + a_2 = 6 \cdot 2} \\\\ \mathsf{3 + a_2 = 12} \\\\ \boxed{\mathsf{a_2 = 9}}$

Daí,

$\\ \displaystyle \mathsf{r = a_2 - a_1} \\\\ \mathsf{r = 9 - 3} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{r = 6}}}$

Por fim,

$\\ \displaystyle \mathsf{a_5 = a_1 + 4r} \\\\ \mathsf{a_5 = 3 + 4 \cdot 6} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{a_5 = 27}}}$