Question

A soma S dos n primeiros números inteiros positivos é dada por S = n. (n+1) / 2
Quando essa soma é 210, qual é o número n?​

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre equações quadráticas.

Dada a fórmula para a soma dos $n$ primeiros termos positivos, teremos:

$S=210\\\\\\\ \dfrac{n\cdot(n+1)}{2}=210$

Multiplique ambos os lados por um fator $2$ e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$2\cdot\dfrac{n\cdot(n+1)}{2}=2\cdot210\\\\\\ n^2+n=420$

Subtraia $420$ em ambos os lados da igualdade

$n^2+n-420=0$

Esta é uma equação quadrática de coeficientes reais $ax^2+bx+c=0,~a\neq0$, cujas soluções podem ser encontradas pela fórmula resolutiva: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Substituindo os coeficientes $a=1,~b=1$ e $c=-420$, temos:

$n=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-420)}}{2\cdot1}$

Calcule a potência, multiplique e some os valores

$n=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+1680}}{2}\\\\\\n=\dfrac{-1\pm\sqrt{1681}}{2}$

Calcule o radical, sabendo que $1681=41^2$

$n=\dfrac{-1\pm41}{2}$

Visto que o número $n$ deve ser maior que zero, assumimos apenas a solução positiva:

$n=\dfrac{-1+41}{2}$

Some os valores e simplifique a fração por um fator $2$

$n=\dfrac{40}{2}\\\\\\ \boxed{n=20}~~\checkmark$

Este é o número $n$ que buscávamos.