Question

A soma entre as idades de duas pessoas é 55 anos , e a soma entre os quadrados de suas idades é de 1525 anos . Determine a idade de cada um

Answer 1

Sendo x e y as idades, podemos equacionar:
$\left \{ {{x+y=25} \atop { x^{2} + y^{2} =1525}} \right.$

Isolando y na primeira:
$y=55-x$

Substituindo na segunda:
$x^{2} + (55-x)^{2} =1525 \\ \\ x^{2} + 3025 - 110x + x^{2} = 1525 \\ \\ 2 x^{2} -110x+1500=0$

Resolvendo a equação por Bhaskara:
$x_{1,2} =\frac{-(-110)_{-}^{+} \sqrt{(-110)^{2}-4*2*1500 } }{2*2} \\ \\ x_{1,2} = \frac{110_{-}^{+} \sqrt{12100-12000 } }{4} \\ \\ x_{1,2} = \frac{110_{-}^{+} \sqrt{100 } }{4} \\ \\ x_{1,2} = \frac{110_{-}^{+} 10 }{4} \\ \\ x_{1} = 30 \\ x_{2} =25$

Como os dois valores são válidos, temos que testá-los nas duas equações.
Para x=30:
$\left \{ {{30+y=55} \atop {30^{2} + y^{2} =1525}} \right. \\ \\ \left \{ {{y=25} \atop {y^{2} =1525-900}} \right. \\ \\ \left \{ {{y=25} \atop {y= \sqrt{625} } \right. \\ \\ \left \{ {{y=25} \atop {y=25}} \right.$

Aqui vemos que o sistema é satisfeito.

Para x= 25:
$\left \{ {{25+y=55} \atop {25^{2} + y^{2} =1525}} \right. \\ \\ \left \{ {{y=30} \atop {y^{2} =1525-625}} \right. \\ \\ \left \{ {{y=30} \atop {y= \sqrt{900} } \right. \\ \\ \left \{ {{y=30} \atop {y=30}} \right.$

Aqui tambem vemos que o sistema é satisfeito. Portanto as idades são 25 e 30 anos.

Answer 2

1er paso.:Vamos armar ad equacoes do sistemas na seguinte maneira :

{ X + Y = 55 => Y = 55 - X l--------(l)
{ X + Y = 25 l---------------------------(ll)
{ X^2 + Y^2 = 1.525 l----------------(lll)

Fazendo (lll) em (l)
##############
X^2 + Y^2 = 1.525

X^2 + (55 - X)^2 = 1.525

X^2 + [(55)^2 - 2(55)(X) + (X(^2 ] = 1.525

X^2 + 3.025 - 110X + X^2 = 1.525

2X^2 - 110X + 3.025 - 1.525 =0

2X^2 - 110X + 1.500 = 0

2do paso.:Vamos calcular com a formula delta na seguinte maneira :

2X^2 - 110X + 1.500 = 0
a = 2
b = - 110
c = 1.500

Formula :
#######
D = b^2 - 4 a c

D = (-110)^2 - 4 (2) (1500)

D = 12.100 - 8 (1.500)

D = 12.100 - 12.000

D = 100

3er paso.:Vamos calcular com a formula de braskara na seguinte maneira :
dados :
~~~~~~~
b = - 110
a = 2
D = 100

Formula :
#######
X = - b + ; - \/D
......._________
................2a

X = - (-110) + ; - \/100
......._____________
.....................2(2)

X = 110 + ; - 10
.......________
................4

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

X1 = 110 + 10
.......______
...............4

X1 = 120
........____
...........4

X1 = 30

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

X2 = 110 - 10
.........______
................4

X2 = 100
..........___
.............4

X2 = 25

4to paso.:Vamos substituir em ( l ) e ( ll ) na seguinte maneira nas equacoes do sistema dada :

Na equacao ( l ) :
~~~~~~~~~~~~~~~
Para X1 = 30
****************

X + Y = 55

Y = 55 - 30

Y = 25

Na equacao ( lll ) :
~~~~~~~~~~~~~~~~
X^2 + Y^2 = 1.525

X^2 + (25)^2 = 1.525

X^2 + 625 = 1.525

x^2 = 1.525 - 625

X^2 = 900

X = \/900

X = 30 anos

Na equacao ( l ) :
~~~~~~~~~~~~~~~
Para X2 = 25
*****************
X + Y = 55

Y = 55 - X

Y = 55 - 25

Y = 30

Na equacao ( lll ) :
~~~~~~~~~~~~~~~~
X^2 + Y^2 = 1.525

X^2 + (30)^2 = 1.525

X^2 + 900 = 1.525

X^2 = 1.525 - 900

X^2 = 625

X = \/625

X = 25 anos

Resposta a primeira idade e 25 anos e segunda idade e 30 anos .