Question

A soma e o produto dos quatro primeiros termos de uma P.A decrescente são, respectivamente, 2 e 40. Qual o 10° termo dessa P.A?

Answer 1

Vamos começar escrevendo matematicamente as informações do enunciado:

$\rightarrow~a_1+a_2+a_3+a_4=2\\\\\rightarrow~a_1.a_2.a_3.a_4=40$

Perceba que temos 2 equações e 4 incognitas (a1, a2, a3 e a4). Para podermos resolver este sistema, precisaremos diminuir para 2 o numero de incógnitas.

Para fazer esta redução, utilizaremos a equação do termo geral da PA:

$\boxed{a_n=a_1+(n-1).r}\\\\\\a_2=a_1+(2-1).r\\\\\boxed{a_2=a_1+r}\\\\\\a_3=a_1+(3-1).r\\\\\boxed{a_3=a_1+2r}\\\\\\a_4=a_1+(4-1).r\\\\\boxed{a_4=a_1+3r}$

Temos então agora nosso sistema com 2 equações e 2 incógnitas.

$\left \{ {{a_1+(a_1+r)+(a_1+2r)+(a_1+3r)~=~2} \atop {a_1.(a_1+r).(a_1+2r).(a_1+3r)~=~40}} \right. \\\\Simplificando~a~1^a~equacao\\\\\left \{ {{4a_1+6r~=~2} \atop {a_1.(a_1+r).(a_1+2r).(a_1+3r)~=~40}} \right.$

Podemos resolver este sistema por qualquer metodo conhecido. Vou fazer pelo método da substituição.

--> Isolando a1 na 1ª equação:

$\boxed{a_1=\frac{1-3r}{2}}$

--> Substituindo na 2ª equação:

$\frac{1-3r}{2}.(\frac{1-3r}{2}+r).(\frac{1-3r}{2}+2r).(\frac{1-3r}{2}+3r)~=~40\\\\\\\frac{1-3r}{2}.(\frac{1-r}{2}).(\frac{1+r}{2}).(\frac{1+3r}{2})~=~40\\\\\\(\frac{1^2-3^2r^2}{4}).(\frac{1^2-1^2r^2}{4})~=~40\\\\\\1-r^2-9r^2+9r^4=40~.~16\\\\\\9r^4-10r^2-639=0\\\\Biquadrada\\\\9u^2-10u-639=0\\\\\Delta=(-10)^2-4.9.(-639)~=~23104\\\\u'=\frac{10+\sqrt{23104}}{2~.~9}~=~\frac{10+152}{18}~=~9\\\\u''=\frac{10-\sqrt{23104}}{2~.~9}~=~\frac{10-152}{18}~=~-\frac{71}{9}$

Voltando a substituição da biquadrada:

$x^2=u\\\\Para~u'=9:\\x'=\pm\sqrt{9}\\\\\boxed{x'=\pm 3}\\\\\\Para ~u'' = -\frac{71}{9}~teremos~solucoes~nao~reais~(complexas)~e,~portanto,~nao~nos~interessam$

Temos então que a razão pode ser +3 ou -3.

Atentando para o enunciado, temos a informação que a PA é decrescente e, portanto, a razão deverá ser o -3.

Com a razão, podemos achar a1 e a10, acompanhe:

$a_1=\frac{1-3r}{2}\\\\\\a_1=\frac{1-3.(-3)}{2}\\\\\\a_1=\frac{1+9}{2}\\\\\\\boxed{a_1=5}\\\\\\\\a_n=a_1+(n-1).r\\\\\\a_{10}=a_1+(10-1).(-3)\\\\\\a_{10}=5+9.(-3)\\\\\\\boxed{a_{10}=-22}$

Resposta: -22