Question

A soma dos três termos de uma p.a é 72 e o produto dos termos extremos é 560 qual é essa p.a

Answer 1

Após a realização dos cálculos chegamos a conclusão de que a progressão aritmética procurada  estabelecem duas  PA: ( 20, 24, 28 ) e  ( 28, 24, 20 ).

Progressão aritmética ( P. A ) é toda sequência de números na qual a diferença entre cada termo ( a partir do segundo ) e o termo anterior é constante chamada de razão r.

Exemplo:

A sequência (3, 5, 7,9 ) → a_1 = 3 e  r = 2 .

Notamos que:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf a_2 = a_1 +r \Rightarrow r = a_2 - a_1 \\ \sf a_3 = a_2 + r \Rightarrow r = a_3 - a_2 \\ \sf \cdots \cdots\\ \sf a_n = a_{n -1} + r \Rightarrow r = a_n - a_{n-1} \end{cases} } }$

Representações especiais:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \bullet \quad tr\hat{e}s ~ termos ~ em ~ P . A:( x -r , x, x+r ) } }$

$\large \displaystyle \mathsf{ \bullet \quad quatro ~ termos ~ em ~ P . A:( x -3y, x-y, x+y, x+3y ) }$

$\large \displaystyle \mathsf{ \bullet \quad cinco ~ termos ~ em ~ P . A:( x-2r, x -r , x, x+r ,x+2r) }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ PA: \begin{cases} \sf a_1 = x -r \\ \sf a_2 = x \\ \sf a_3 = x+ r \end{cases} } }$

A soma desse três termos desconhecidos é igual 72.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x- \diagdown\!\!\!\! {r} + x +x+ \diagdown\!\!\!\! { r} = 72 } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 3x =72 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{72}{3} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x = 24 }$

Agora devemos determinar o valor da razão, basta substituir o valor x produto dos termos extremos é 560.

$\Large \displaystyle \mathsf{ (x-r ) \cdot (x+r) = 560 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} - r^{2} = 560 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ (24)^{2} - r^{2} = 560 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 576 - r^{2} = 560 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 576 -560 = r^{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ 16 = r^{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ r = \pm\sqrt{16} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf r = \pm 4}$

Então, temos:

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \bullet \quad para ~ r = 4, \to a~ PA\: (\: 20, 24,28\: )}$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \bullet \quad para ~ r = - 4, \to a~ PA\: (\: 28, 24,20\: )}$

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