Question

A soma dos três primeiros termos de uma PA crescente e igual a 36. Sabendo que o produto desse termos e igual a 1428, determine qual é o quarto termo dessa PA?

a)12
b)17
c)21
d)22
e)27

ajuddaaaaa por favor preciso dos cálculos. ​

Answer 1

De acordo com os dados do enunciado e feito a resolução concluímos que o quarto termo dessa P.A é $\large \displaystyle \mathsf{ a_4 = 22 }$. E que corresponde a alternativa correta é a letra D.

Progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se o termo anterior com uma constante. Essa constante é chamada razão da P.A. e é indicada por r.

A Progressão aritmética (P.A.) pode ser classificada em:

• Crescente: P. A. ( 3, 5, 7, 9 ,11 ) → tem razão r  =  2,

• Decrescente: P. A. ( 15, 12, 9, 6, 3, 0, -3 ) → tem razão r  =  - 3,

• Constante: P. A. ( 8, 8, 8, 8, 8 ) → tem razão r  = 0.

Termo geral da P.A:

$\large \boxed{ \displaystyle \mathsf{a_n = a_1 + (n -1) \cdot r } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

Representamos os três números em P. A. por:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf a_1 = x - r \\ \sf a_2 = x\\ \sf a_3 = x + r \end{cases} } }$

Assim temos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf (x - r ) + x + ( x +r) = 36 \\ \\\sf (x-r) \cdot x \cdot (x+r) = 1428 \\ \\\sf a_4 = \:?\end{cases} } }$

Resolvendo temos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ x- \diagdown\!\!\!\! {r} +x + x +\diagdown\!\!\!\! { r}= 36 } }$

$\large \displaystyle \mathsf{ 3x = 36 }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{36}{3} } }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x = 12 }$

Substituindo x por 12, temos:

$\large \displaystyle \mathsf{ (x-r) \cdot x \cdot (x+r) = 1428 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ x\cdot [ (x-r) \cdot (x+r) ]= 1428 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ x\cdot [ x^2 - r^2]= 1428 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ 12\cdot [ (12)^2 - r^2]= 1428 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ 12\cdot [ 144 - r^2]= 1428 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ 1\:728 - 12r^2 = 1428 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ - 12r^2 = 1428 - 1\: 728 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ - 12r^2 = - 300 \quad \times (-\:1) }$

$\large \displaystyle \mathsf{12r^2 = 300 }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ r^2 = \dfrac{300}{12} } }$

$\large \displaystyle \mathsf{ r^2 = 25 }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ r = \pm\:\sqrt{25} } }$

$\large \displaystyle \mathsf{ r_1 = 5 \gets crescente }$

$\large \displaystyle \mathsf{r_2 = -\: 5 \gets decrescente }$

O enunciado pede que P. A seja crescente, logo só serve r = 5.

Agora vamos determinar o quarto termo dessa P. A.

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf a_1 = x- r = 12 - 5 = \boldsymbol{ \displaystyle \sf 7 } \\ \sf a_2 = x = \boldsymbol{ \displaystyle \sf 12 } \\ \sf a_3 = x + r = 12 +5 = \boldsymbol{ \displaystyle \sf 17 }\\ \sf a_4 = a_3 + r = 19 + 5 = \boldsymbol{ \displaystyle \sf 22 } \end{cases} } }$

Logo, a P. A ( 7, 12, 17, 22 ). Portando, o quarto termo da P.A é 22.

Alternativa correta é a letra D.

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