Question

a soma dos termos de uma pa descrecente de 5 termos é 10,e o produto do primeiro pelo quarto é -56. O segundo termo da progressão é:

Answer 1

Sn = 10
n = 5

Sn = n . (a1 + a5)/2
10 = 5 . (a1 + a5)/2
10 = 2,5 . (a1 + a5)
10/2,5 = a1 + a5

a1 + a5 = 4       <<< sabemos que a5 = a1 + 4r em qualquer PG, logo:
a1 + (a1 + 4r) = 4
a1 + a1 + 4r = 4
2.a1 + 4r = 4
2.a1 = 4 - 4r
a1 = 4 - 4r/2
a1 = 2 - 2r <<< valor de a1

Substitua a1 na expressão:
a1.(a4) = - 56
a1.(a1 + 3r) = - 56
(2 - 2r)(2 - 2r + 3r) = - 56
(2 - 2r)(2 + r) = - 56
4 + 2r - 4r - 2r² = - 56
4 + 2r - 4r - 2r² + 56 = 0
-2r² - 2r + 60 = 0      <<< simplifica por - 2
r² + r - 30 = 0

Bhaskara:
Δ = b² - 4ac
Δ = 1² - 4.1.-30
Δ = 1 + 120
Δ = 121

x = -b +/- √Δ / 2a
x = -1 +/- √121 / 2.1
x = -1 +/- 11 / 2

x1 = -1 + 11/2 = 10/2 = 5
x2 = -1 -11/2 = -12/2 = -6 

Como a PA é decrescente, a razão deverá ser negativa, logo r = -6
________________________________
Voltando na expressão (a1 = 2 - 2r) 
a1 = 2 - 2r
a1 = 2 - 2(-6)
a1 = 2 + 12
a1 = 14

Agr que achamos o valor de a1, vamos achar o valor de a2.

a2 = a1 + r
a2 = 14 + (-6)
a2 = 14 - 6 
a2 = 8 <<< resposta do exercício

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Vamos tirar a prova real:

a1 = 14 
a2 = 14 - 6 = 8
a3 = 8 - 6 = 2 
a4 = 2 - 6 = - 4
a5 = -4 - 6 = -10

Vamos somar os termos:
14 + 8 + 2 + (-4) + (-10) = 
14 + 8 + 2 - 4 - 10 =
10 <<< Igual diz o enunciado

a1 . a4 = - 56
14 . (-4) = - 56 <<<   Igual o enunciado

Bons estudos