Question

a soma dos termos de uma P.A infinita é 33,sua razão é 2 e o primeiro termo é -7. Determine o número de termos dessa P.A.​

Answer 1

Resposta:

11

Explicação passo-a-passo:

$\mathsf{S_{(n)}~=~\Big(a_{(1)}+a_{(n)}\Big).\dfrac{n}{2} }$

$\mathsf{33~=~\Big(-7+a_{(n)}\Big).\dfrac{n}{2} }$

• Perceba que $\mathsf{a_{(n)}~=~a_{(1)}+\Big(n-1\Big).r }$
• $\mathsf{a_{(n)}~=~-7+2n-2 }$
• $\boxed{\mathsf{a_{(n)}~=~2n-9 }}}}$

• Sendo assim: vamos introduzir o termo geral na expressão da Soma:

$\mathsf{33~=~\Big(-7+2n-9\Big).\dfrac{n}{2} }$

$\mathsf{33~=~\Big(2n-16\Big).\dfrac{n}{2} }$

$\mathsf{33~=~\frac{2n^2-16n}{2} }$

$\mathsf{66~=~2n^2-16n }$

$\mathsf{2n^2-16n-66~=~0 }$

$\boxed{\mathsf{n^2-8n-33~=~0 }}}}$

$\mathaf{Coeficientes:}\begin{cases}~a~=~1 \\ \\ b~=~-8 \\ \\ c~=~-33 \end{cases}$

• Bhaskara:

$\mathsf{n_{(1,2)}~=~\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} }$

$\mathsf{n_{(1,2)}~=~\dfrac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4.1.(-33)}}{2.1} }$

$\mathsf{n_{(1,2)}~=~\dfrac{8\pm\sqrt{64+132}}{2}~=~\dfrac{8\pm\sqrt{196}}{2} }$

$\mathsf{n_{(1,2)}~=~\dfrac{8\pm~14}{2} }$

$\mathsf{n_{(1)}~=~\dfrac{8+14}{2}~=~\dfrac{22}{2} }$

${\color{blue}{\mathsf{n~=~11} }}$

$\mathsf{n_{(2)}~=~\dfrac{8-14}{2}~=~\dfrac{-6}{2} }$

${\color{blue}{\mathsf{n_{(2)}~=~-3~\Rightarrow~não~serve} }}$

Espero ter ajudado bastante!)