Question

A soma dos termos de uma P.A. finita, de 20 termos é 590 e a soma dos quadrados dos termos centrais é 1745. O primeiro termo da P.A. vale:

Answer 1

A soma dos 20 termos dessa PA é dada por:

S=(a1+a20)*20/2 = (a1+a20)*10

Onde:

a1=primeiro termo
a20=vigésimo termo

Foi dado que S=590.Logo:


(a1+a20)*10=590 => a1+a20=59 

Veja que a20=a1+19r,onde r é razão da PA.Deste modo:

 a1+a1+19r=59 => 2a1+19r=59 => a1=(59-19r)/2


Perceba que os termos centrais são o a10 e o a11,dados por a1+9r e a1+10r,respectivamente.Assim:

(a1+9r)²+(a1+10r)²=1745

Desenvolvendo:

(a1)²+18a1*r+81r²+(a1)²+20a1*r+100r²=1745

2(a1)²+38a1*r+181r²=1745

Substituindo a1:


2*((59-19r)/2)²+38((59-19r)/2)*r+181r²=1745

(3481-2242r+361r²)/2 +1121r-361r²+181r²=1745

3481-2242r+361r²+2242r-722r²+362r²-3490=0

Simplificando:

r²-9=0 => r²=9 <=> r=3 (pois r>0)

Assim:

a1=(59-19*3)/2=2/2=1 <-- esta é a resposta