Question

A soma dos termos de ordem ímpar de uma P.G. infinita é 20 e a soma dos termos de ordem par é 10. Obter o primeiro termo.

Answer 1

Ordem par : { a1.q, a1.q^3, a1.q^5, a1.q^7...} 
Ordem impar : {a1, a1.q^2, a1.q^4, a1.q^6...} 

Logo, a razão r em cada uma dessas ordens será q^2 

Usando S = a1 / (1- r) 
Ficamos com o sistema: 

a1.q / (1-q^2) = 10 ( I ) 

a1 / (1-q^2) = 20 ( II ) 

Dividindo ( I ) por ( I I ), concluímos que q = 1/2 

Substituindo em ( I I): 

a1 / (1 - 1/4) = 20 
a1 / (3/4) = 20 

Logo, a1 = 15 

Assim, o termo geral fica a n = 15.[(1/2)^(n-1)] 

Daí a3 = 15 / 4

Answer 2

Sabendo que:


$a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + ... + a_{\infty-1} = 20$

e:

$a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + ... a_{\infty} = 10$

E sabendo que:

$a_1 = a_1 \\ a_2 = a_1 R \\ a_3 = a_1 R^2 \\ a_4 = a_1 R^3 ...$

Isto é, o termo n de uma P.G. pode ser escrito como:

$a_n = a_1 R^{(n-1)}$

Logo:

$a_1 + a_1 R^2 + a_1 R^4 + a_1 R^6 + ... = 20 \\ a_1(1 + R^2 + R^4 + R^6 + R^8 + ...) = 20$

e:

$a_1 R + a_1 R^3 +a_1 R^5 + a)1 R^7 +... = 10 \\ a_1 R(1 + R^2 + R^4 + R^6 + R^8 + ...) = 10$

Eu vou chamar $a_1 (1 + R^2 + R^4 + R^6 + R^8 + ...)$ de K. Assim:

$K = 20 \quad e \quad K \cdot R = 10$

Ou seja:

$20 \cdot R = 10 \\ R = \frac{1}{2}$

Encontramos a razão da P.G., mas o exercício pede o termo $a_1$. Como:

$a_1 (1 + R^2 + R^4 + R^6 + R^8 + ...) = a_1 (1 + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^4 + (\frac{1}{2})^6 + (\frac{1}{2})^8 + ...) = 20$

Precisamos calcular para qual valor converge a série de potências dada acima.

Analisando apenas a soma dos seis primeiros termos, é possível descobrir que ela converge para: $\frac{4}{3} = 1,33333...$. Assim:

$a_1 \cdot \frac{4}{3} = 20 \\ a_1 = 20 \cdot \frac{3}{4} = \frac{60}{4} = 15$