Question

A soma dos quadrados dos números complexos que são as raízes da equação $x^{4} - 1 = 0$ é igual a:

a) 8

b) 0

c) 4

d) 2

Por favor, explicar detalhadamente.

Answer 1

Resposta:

0

Explicação passo-a-passo:

Temos que:

x^4-1=0

Como é uma equação do 4o. Grau, a mesma deve admitir 4 raízes, vamos calculá-las então.

fazendo w=x^2, temos:

w^2-1=0

w^2=1

w=raiz(1)

w'=+1

w''=-1

Se w=x^2, então x=raiz(w), ou seja:

Para w'=1:

x=raiz(1) => x'=1 e x'=-1

Para w''=-1:

x=raiz(-1)

Como i^2=-1 (número imaginário):

x=raiz(i^2) => x'''= i e x''''= -i

Logo, a equação tem 2 raízes reais (1 e -1), e 2 raízes complexas (i e -i), porém as raízes reais também podem ser expressas como números complexos uma vez que a parte imaginária desses é zero, ou seja:

x'= 1+0i

x''= -1+0i

x'''= 0 +i

x''''= 0 -i

Logo, somando o quadrado de todas essas 4 raízes, temos:

(1+0i)^2 + (-1+0i)^2 + (0+i)^2 + (0-i)^2 =

1^2 + (-1)^2 + (i)^2 + (-i)^2 =

1 + 1 + (-1) + ((-1)^2).(i)^2 =

1 + 1 + (-1) + 1.(-1) =

1 + 1 + (-1) + (-1) =

2 - 2 = 0

Blz?

Abs :)

Answer 2

Resposta: A soma S dos quadrados das quatro raízes complexas da equação (x²)² - 1 = 0 é S = 0 (zero). Portanto, a alternativa correta é b).

Explicação passo-a-passo:

A equação (x²)² - 1 = 0 pode ser reescrita à forma a(x²)² + bx³ + cx² + dx + e = 0. Reescrevendo-a, obteremos a seguinte equação polinomial quártica (quarto grau) na forma completa:

(x²)² + 0x³ + 0x² + 0x - 1 = 0 *

As quatro raízes complexas da equação * são dadas por x1, x2, x3 e x4. Pede-se a soma S dos quadrados das raízes, logo:

S = x1² + x2² + x3² + x4² =>

S = (x1 + x2 + x3 + x4)² - 2x1x2 - 2x1x3 - 2x1x4 - 2x2x3 - 2x2x4 - 2x3x4 =>

S = (x1 + x2 + x3 + x4)² - 2(x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4) **

Das relações de Girard, sabemos que (x1 + x2 + x3 + x4)² = (- 0/1)² = 0² = 0. Também por Girard, é sabido que 2(x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4) = 2(0/1) = 2(0) = 0. Posto isto, temos que a soma S dos quadrados das raízes complexas de * é dada por:

S = 0 - 0 =>

S = 0

Abraços!