Question

A soma dos quadrados de dois números positivos e inversos é 97 sobre 36. Quais são esses números?

Answer 1

x² + 1/x² = 97/36

mmc(36,x²) = 36*x²

36x^4 + 36 - 97x² = 0

y = x²

36y² - 97y + 36 = 0

Δ² = 97² - 4*36*36 = 9409 - 5184 = 4225
Δ = 65

y = 97/72 + 65/72 = 162/72 = 81/36
x = 9/6 = 3/2
1/x = 2/3

 2/3 e 3/2

Answer 2

O inverso de um número real $x$ é sempre $\frac{1}{x}$.

Logo o inverso de $x^{2}$ é $\frac{1}{ x^{2}}$.

Como $x^{2} + \frac{1}{ x^{2}} = \frac{97}{36}$ resolvendo:

Deixando a equação com o mesmo denominador $x^{2}$:

$\frac{ x^{4}+1}{ x^{2}}= \frac{97}{36}$

Multiplicação em cruz:

$36\left(x^{4}+1\right)=97x^{2}$

Expandindo os termos:

$36x^4+36=97x^2$

Subtraindo $97x^2$ de ambos os lados:

$36x^4-97x^2+36=0$

Fazendo $y=x^2$:

$36y^2-97y+36=0$

Fatorando a equação:

$(4y-9)(9y-4)=0$

Dividindo em 2 equações:

$4y-9=0 \quad ou \quad 9y-4=0$

Resolvendo ambas as equações:

$y= \frac{9}{4} \quad ou \quad y= \frac{4}{9}$

Voltando a substituir $y=x^2$:

$x^2= \frac{9}{4} \quad ou \quad x^2= \frac{4}{9}$

Resolvendo para $x$:

$x= \sqrt{\frac{9}{4}} \quad ou \quad x= \sqrt{\frac{4}{9}$

$x=\frac{3}{2} \quad ou \quad -\frac{3}{2} \quad ou \quad x= \frac{2}{3} \quad ou \quad - \frac{2}{3}$

Logo temos 4 raízes e 4 números reais que têm essa propriedade.