Matemática, perguntado por samuelrichardy0202, 4 meses atrás

A soma dos quadrados de dois números positivos e consecutivos e 81. Calcule esses números

Soluções para a tarefa

Respondido por Eukllides

Através dos calculos realizados podemos concluir que esses números são (- 1 + √161)/2 e (1 + √161)/2.

A soma dos quadrados de dois números consecutivos, seja esse número "x" o seu consecutivo é seu sucessor "x + 1", logo temos a representação da seguinte maneira:

$\mathsf{x^{2}+(x+1)^{2}}$

Essa soma corresponde a 81, logo : $\mathsf{x^{2}+(x+1)^{2} = 81}$

Essa é uma equação polinomial de grau dois, ou seja, uma equação do segundo grau -- dada na forma geral por ax² + bx + c = 0. São a,b e c os coeficientes da equação e para ser de grau dois é necessário que a ≠ 0; para solucionar utilizamos a famigerada fórmula de Bhaskara.

$\mathsf{x = \dfrac{-b~\pm~\sqrt{\Delta}}{2a}~~~~ > > \Delta = b^{2}-4ac}$

O valor de Delta determina três coisas em uma equação, são elas:

(I) Se existe duas raízes distintas para a equação em IR(Conjunto dos Números Reais) ; quando a discriminante for maior que zero(Δ > 0).

(II) Se a equação possui duas raízes iguais em IR ; quando discriminante for igual a zero(Δ = 0).

(III) Não possui raiz em IR, mas em C(Conjunto dos Números Complexos) ; quando a discriminante for menor que zero(Δ < 0).

Colocando a equação na forma geral

$\mathsf{x^{2}+(x+1)^{2} = 81}$

O quadrado da soma de dois termos é um produto notável muito conhecido, onde $\mathsf{(a + b)^{2} = a^{2} + 2.a.b + b^{2}}$ . Logo :

$\mathsf{x^{2}+(x^{2} + 2.x.1 + 1^{2}) = 81}\\ \\ \mathsf{x^{2}+(x^{2} + 2x+ 1) = 81}\\ \\ \mathsf{x^{2}+x^{2} + 2x+ 1 - 81= 81 - 81}\\ \\ \mathsf{2x^{2} + 2x - 80= 0}$

Valor da discriminante

$\mathsf{\Delta = b^{2} - 4ac }\\ \\ \mathsf{\Delta = 2^{2} - 4.2.(-80) }\\ \\ \mathsf{\Delta = 4 - 8.(-80) }\\ \\ \mathsf{\Delta = 4 - (-640) }\\ \\ \mathsf{\Delta = 4 +640 }\\ \\ \mathsf{\Delta = 644}$

A √644 não é racional, logo vamos simplificar o radical para facilitar. Para simplificar vamos pegar o radicando e decompor em fatores primos.

644 ! 2

322 ! 2

161 ! 7

023 ! 23

001 ⇒ 644 = 2². 7 . 23

Logo √(644) = √(2².7.23) = 2√(7.23) = 2√161

Usando a fórmula de Bhaskara

$\mathsf{x = \dfrac{-b~\pm~\sqrt{\Delta}}{2a}}\\ \\ \\ \mathsf{x = \dfrac{-2~\pm~2\sqrt{161}}{2.2}}\\ \\ \\ \mathsf{x = \dfrac{-1~\pm~\sqrt{161}}{2}}$

Raízes

$\mathsf{x_{1} = \dfrac{-1~+~\sqrt{161}}{2}}\\ \\ \\ \mathsf{x_{2} = \dfrac{-1~-~\sqrt{161}}{2}}$

A segunda raiz da equação(x₂) é descatada, pois o valor dela é menor que zero, logo os números procurados são:

$\mathsf{x = \dfrac{-1~+~\sqrt{161}}{2} }$

$\mathsf{x+1 = \dfrac{-1~+~\sqrt{161}}{2} +1 }\\ \\ \\\mathsf{x+1 = \dfrac{-1~+~\sqrt{161}}{2} +\dfrac{2}{2} }\\ \\ \\ \mathsf{x + 1 = \dfrac{-1~+~2~+~\sqrt{161}}{2} }\\ \\ \\ \mathsf{x + 1 = \dfrac{1~+~\sqrt{161}}{2} }$