Question

A soma dos quadrados de dois numeros positivos e 4 e a soma dos inversos desses quadrados é 1 determine a soma desses numeros.

Answer 1

Soma dos quadrados

$x^{2} + y^{2} = 4 \;\;\;\; (1)$
 
Soma dos inversos

$\dfrac{1}{x^2}+ \dfrac{1}{y^2} = 1 \;\;\;\; (2)$


Resolvendo (2), temos

$\dfrac{1 \cdot y^2 + 1 \cdot x^2}{x^2 y^2} = 1 \implies \dfrac{x^2 + y^2}{x^2 y^2} = 1\\\\ x^2 + y^2 = 1 \cdot x^2 y^2 \implies x^2 + y^2 = x^2 y^2$

Substituindo (1), temos

$4 = x^2 y^2 \implies xy = \sqrt{4} \implies xy = 2$

Vamos chamar de k à soma. Daí, podemos elevar ao quadrado a igualdade e depois desenvolver o segundo membro:

$k = x+y \implies k^2 = (x+y)^2 \implies k^2 = x^2 + xy + y^2$

Arrumando os termos, podemos substituir  pelos valores informados no enunciado...

$k^2 = 2xy + x^2 + y^2\\\\ xy = 2\;\;\;\;e\;\;\;\;x+y=4\\\\ k^2 = 2\cdot 2 + 4\\\\ k^2 = 8 \implies \sqrt[\not{2}]{k^{\not{2}}} = \sqrt{8} \implies k = \sqrt{8}$

Fatorando o 8, temos

8 | 2
4 | 2
2 | 2

8 = 2 x 2²

Como √4 = 2, podemos passar esse 2² para fora da raiz. Assim, a soma dos números é

$k = 2 \sqrt{2}$