Question

A soma dos quadrados de dois números positivos é 4 e a soma dos inversos de seus quadrados é 1. Determine o produto dos dois números:

Answer 1

Vamos lá. 
Tem-se que a soma dos quadrados de dois números positivos é 4 e a soma dos inversos de seus quadrados é 1. Assim, chamando os números de "a" e "b", vem: 

a²+b² = 4 e daí a² = 4-b². (I) 
1/a²+1/b² = 1. (II) 

Desenvolvendo (II), temos: 

a/a²+1/b² = 1 ------mmc = a²b² 

b²+a² = a²b². Colocando a²b² para o 1º membro: 
a²+b²-a²b² = 0. (III) 

Substituindo o valor de a² encontrado em (I) na equação (III), vem: 

4-b² +b²-(4-b²)b² = 0 . 
4-(4-b²)b² = 0 
4-(4b²-b^4) = 0. Retirando o parêntese, vem: 
4-4b²+b^4 = 0. Ordenando, temos: 
b^4-4b²+4 = 0. Fazendo b² = m, temos: 
m²-4m+4 = 0. Resolvendo a equação do 2º grau, encontramos: 
m1=m2=2. 
Mas m = b², então: 
b² = 2 
........__ 
b = V2 . (IV). 
Substituindo o valor de "b" encontrado em (IV) na equação (I), vem: 
............ __ 
a² = 4-(V2)² 
a² = 4-2 
a² = 2 
....... __ 
a = V2 . (V) 
......................................... 
Vemos, então, que a=b=V2 

Vamos às perguntas do problema: 
...................__ . __ .. __ 
a) produto: V2*V2 = V4 = 2 
................__...__.....__ 
b) soma: V2+V2 = 2V2 

OK? 
Adje