Question

A soma dos quadrados das raízes da equação x²-12x+m=0 é igual a 90. O numero real m é tal que:

a) m é par
b) m é divisivel por 9
c) m é primo
d) m é quadrado perfeito
e) m é divisivel por 12

Passo a passo, PFV!

Answer 1

x²-12x+m=0

Aqui você vai ter que usar a propriedade da Soma e Produto das raízes.
S = -b/a     P = c/a

S = 12   P = m
A soma das duas raízes é igual a 12 e o produto das duas raízes é m.

Não dá pra fazer nada com esse m, então vamos olhar para o 12.
Já sabemos que a soma dos quadrados das raízes é igual a 90.
Então, estamos procurando dois números cuja soma dá 12 e cuja soma dos quadrados dá 90.

Soma 12                              Soma dos Quadrados

0 + 12                                  0² + 12² =144
1 + 11                                  1² + 11² = 122
2 + 10                                  2² + 10² = 104
3 + 9                                    3² +  9²  = 9 + 81 = 90

Pronto! As raízes são 3 e 9.
Agora vamos achar o m:

Se a raiz é 3, então:                               Se a raiz é 9, então:
x² - 12x + m = 0                                      x² - 12x + m = 0
3² - 12.3 + m = 0                                    9² - 12.7 + m = 0
9 - 36 + m = 0                                        81 - 108 + m = 0
m = 27                                                   m = 27

m = 27

a) m é par                                 Não. 27 é ímpar
b) m é divisivel por 9                Sim. 27 é divisível por 9
c) m é primo                             Não. 27 não é primo
d) m é quadrado perfeito          Não. Nenhum inteiro ao quadrado dá 27
e) m é divisivel por 12              Não. 27 não é divisível por 12.

Alternativa b: m é divisível por 9