Question

A soma dos possíveis valores de k, para que a distância do ponto P(3,4) à reta r: $4x - 3y + k = 0$ seja igual a 1 é:

A) 5
B) -5
C) -1
D) 0
E) 2

Answer 1

Olá Bilimeira, boa noite!

Sejam $\mathbf{A = (x_o, y_o)}$ um ponto qualquer e $\mathbf{r : ax + by + c = 0}$ uma recta pertencente ao mesmo plano do ponto A. Sabemos que a distância entre eles é dada por:

$\boxed{\mathbf{d = \frac{|ax_o + by_o + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}}}$

 Isto posto, de acordo com o enunciado, temos que:

$\\ \displaystyle \mathsf{d = \frac{|ax_o + by_o + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}} \\\\\\ \mathsf{1 = \frac{|4 \cdot 3 + (- 3) \cdot 4 + k|}{\sqrt{(4)^2 + (- 3)^2}}} \\\\\\ \mathsf{1 = \frac{|12 - 12 + k|}{\sqrt{16 + 9}}} \\\\ \mathsf{|k| = 5} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{k = \pm 5}}}$

 Obs.: $\mathsf{|k|} = \begin{cases} \mathsf{k, \qquad \ se \ k \geq 0} \\ \mathsf{- k, \qquad se \ k < 0}\end{cases}$

 Conclusão: opção D.  

Answer 2

A soma dos possíveis valores de k é 0, alternativa D.

Essa questão é sobre a distância entre ponto e reta. Algumas considerações:

• A distância entre ponto e reta pode ser calculada pela fórmula d(r, P) = |a·x₀ + b·y₀ + c|/√(a² + b²);

• A reta deve estar na forma geral ax + by + c = 0;

Temos então que a = 4, b = -3, c = k, x₀ = 3 e y₀ = 4. Substituindo na fórmula:

d(r, P) = |4·3 + (-3)·4 + k|/√(3² + 4²)

d(r, P) = |12 - 12 + k|/√25

d(r, P) = |k|/5

Se a distância deve ser igual a 1, temos:

1 = |k|/5

|k| = 5

k = ±5

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