Question

A soma dos números naturais menores do que 100 e que divididos por 5 deixam resto 1 é quanto?

Answer 1

Resposta:

A soma é 970

Explicação passo a passo:

Número natural dividido por 5 deixa resto 1

número natural - 1 = múltiplo de 5

x - 1 = 5.k

para k=0

x - 1 = 5(0)

x = 1

para K=1

x - 1 = 5(1)

x = 5 + 1

x = 6

para k= 2

x - 1 = 5(2)

x = 10 + 1

x = 11

Para k= 20

x - 1 = 5(20)

x - 1 = 100

x = 100 + 1

x = 101  (não convém pois x < 100)

logo o maior número natural é para k=19

x - 1 = 5(19)

x - 1 = 95

x = 95+ 1

x = 96

Temos uma PA ( 1 , 6 , 11 , ... 96)

Calculando o número de termos

$a_n=96\\ a_1=1\\ \\ r=6-1=5\\ n=?\\ \\ \\ a_n=a_1+(n-1)r\\ \\ \\ 96=1+(n-1)5\\ 96=1+5n-5\\ 96=5n-4\\ \\ 96+4=5n\\ \\ 100=5n\\ \\ n=100:5\\ \\\boxed{ n=20}$

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Calculando a soma:

$S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}\\ \\ \\ S_{20}=\dfrac{(1+96)(20)}{2}\\ \\ \\ S_{20}=\dfrac{(97)(\not20^{10})}{\not2}=(97)(10)\\\\ \\\boxed{ S_{20}=970}$