Question

A soma dos n termos de uma progressão aritmética é igual a 528. Sabe-se que An = 21A1 e que a razão r é igual a 4.
Assim, sendo n o número de termos dessa progressão, é correto afirmar que

A) n ≤ 9. B) n > 22. C) 9 < n ≤ 14. D) 14 < n ≤ 18. E) 18 < n ≤ 22.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Chillato, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se: numa PA sabe-se que a soma dos seus "n" primeiros termos é igual a 528;  que o último termo é igual a 21 vezes o primeiro termo, ou seja, que a ̪ = 21a₁, e, finalmente, que a razão (r) é igual a "4". Com base nessas informações, pede o número de termos dessa progressão.

ii) Vamos por parte. Temos que o último termo (a ̪  ) é igual a 21 vezes o primeiro termo, ou seja, temos que:

a ̪ = 21a₁     . (I).

ii.1) Note que a fórmula do termo geral de uma PA é dada por:

a ̪  = a₁ + (n-1)*r

Na fórmula acima, "a ̪ " é o valor do último termo. No caso, já sabemos que a ̪ = 21a₁, conforme vimos na expressão (I) acima. Então substituiremos "a ̪ " por "21a₁". E "r" é a razão da PA, que já sabemos que é igual a "4". Então substituiremos "r" por "4". Fazendo isso, teremos:

21a₁ = a₁ + (n-1)*4 ---- desenvolvendo, teremos:

21a₁ = a₁ + 4n-4 ---- passando "a₁" do 2º para o 1º termo, teremos:

21a₁ - a₁ = 4n - 4 ---- continuando o desenvolvimento, temos:

20a₁ = 4n-4 ----- passando "-4" para o 1º membro, teremos:

20a₁ + 4 = 4n ----- veja que podemos dividir ambos os membros por "4", com o que iremos ficar apenas com:

5a₁ + 1 = n ---- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo, teremos:

n = 5a₁ + 1      . (II).

iii) Agora vamos para a soma dos "n" primeiros termos de uma PA, que é dada assim:

S ̪  = (a₁+a ̪ )*n/2 .

Na fórmula acima, substituiremos "S ̪ " por 528, pois já foi dado que a soma dos "n" primeiros termos da PA é 528; por sua vez, substituiremos "a ̪ " por "21a₁", pois também já foi dado isso no enunciado da questão; e "n" substituiremos por "5a₁+1", conforme já encontramos lá na expressão (II). Assim, fazendo essas substituições, teremos:

528 = (a₁+21a₁)*(5a₁+1)/2 ----- multiplicando-se em cruz, teremos:

2*528 = (a₁+21a₁)*(5a₁+1) ---- desenvolvendo, teremos:

1.056 = (22a₁)*(5a₁+1) ---- efetuando o produto indicado no 2º membro, temos:

1.056 = 110a₁² + 22a₁ ----- passando "1.056" para o 1º membro, teremos:

0 = 110a₁² + 22a₁ - 1.056 --- ou, invertendo-se, o que dá no mesmo, temos:

110a₁² + 22a₁ - 1.056 = 0 ---- dividindo-se ambos os membros por "22", iremos ficar apenas com:

5a₁² + a₁ - 48 = 0 ---- note que se você aplicar Bháskara vai encontrar as seguintes raízes:

a₁' = -3,2 <--- Esta é a primeira raiz.

a₁'' = 3 <--- Esta é a segunda raiz.

Agora vamos saber o número de termos. E, para isso, basta irmos na expressão (II), que é esta:

n = 5a₁ + 1 .

- Substituindo-se "a₁" por "-3,2", teremos:

n = 5*(-3,2) + 1 ---> n = -16+1 ---> n = -15 <-- raiz descartada, pois não há número de termos negativo.

- Substituindo-se "n" por "3", teremos:

n = 5*3 + 1 ---> n = 15+1 ---> n = 16 <-- raiz válida.

iv) Assim, escolhendo apenas a raiz válida para o valor de "n", conforme vimos aí em cima, teremos que:

n = 16 ----- Esta é a resposta. Opção "D". Pois note que: sendo n = 16, então ele está no intervalo dado pela opção "D", que diz isto: 14 < n ≤ 18.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.