Question

A soma dos n primeiros termos de uma sequência {aₙ} é dada por

Sₙ = cos(2ⁿ) − cos(1), n ∈ ℕ*.

A lei de formação para a sequência {aₙ} é

A) aₙ = 2 sen(3 ∙ 2ⁿ⁻²) sen(2ⁿ⁻²)
B) aₙ = 2 cos(3 ∙ 2ⁿ⁻²) sen(2ⁿ⁻²)
C) aₙ = − 2 sen(3 ∙ 2ⁿ⁻²) sen(2ⁿ⁻²)
D) aₙ = 2 sen(3 ∙ 2ⁿ⁻²) cos(2ⁿ⁻²)
E) aₙ = − 2 cos(3 ∙ 2ⁿ⁻²) sen(2ⁿ⁻²)

Answer 1

Olá Lukyo.


Identidade usada:

$\star~~\boxed{\boxed{\mathsf{cos(\alpha\pm\beta)=cos(\alpha)\cdot cos(\beta) \mp sen(\alpha)\cdot sen(\beta)}}}$

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Temos que:

$\mathsf{S_n=cos(2^n)-cos(1)~~n\geq1}$

$\mathsf{S_n}$ pode ser escrito como a soma dos n - 1 primeiros termos mais o último termo,
ou seja.

$\mathsf{S_{n}= S_{n - 1} + a_n}$


Note que:


$\mathsf{S_{n-1}=cos(2^{n-1})-cos(1)}$


Substituindo

$\mathsf{a_n=S_n - S_{n-1}=cos(2^n)-cos(1)-cos(2^{n-1})+cos(1)=cos(2^n)-cos(2^{n-1})}\\\\\\\mathsf{a_n=cos(2^n)-cos(2^{n-1})}$

A ideia agora é deixar $\mathsf{a_n}$ com a cara de uma das alternativas. Como todas são produtos, vamos transformar nosso $\mathsf{a_n}$ em um produto também.

Pela identidade do ínicio, temos que:



$\mathsf{cos(\alpha-\beta)=cos(\alpha)\cdot cos(\beta)+sen(\alpha)\cdot sen(\beta)}\\\\\\\mathsf{cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha)\cdot cos(\beta)-sen(\alpha)\cdot sen(\beta)}$


Fazendo a diferença da segunda equação pela primeira.


$\mathsf{cos(\alpha+\beta)-cos(\alpha-\beta)=-2sen(\alpha)\cdot sen(\beta)}$


Fazendo $\mathsf{\alpha+\beta=2^n}$ e $\mathsf{\alpha-\beta=2^{n-1}}$, temos:


$\begin{cases}\mathsf{\alpha+\beta=2^n}\\\\\mathsf{\alpha-\beta=2^{n-1}}\end{cases}$


$\mathsf{2\alpha=2^n+2^{n-1}}\\\\\mathsf{\alpha=2^{n-1}+2^{n-2}=2\cdot2^{n-2}+2^{n-2}=3\cdot2^{n-2}}}}$

Achando $\mathsf{\beta}$

$\mathsf{\alpha+\beta=2^{n}}\\\\\mathsf{\beta=2^2\cdot2^{n-2}-3\cdot2^{n-2}=2^{n-2}}}$

Portanto temos:

$\mathsf{a_n=cos(2^n)-cos(2^{n-1})=-2sen(3\cdot2^{n-2})\cdot sen(2^{n-2})}}$

$\mathsf{a_n=-2sen(3\cdot2^{n-2})\cdot sen(2^{n-2})}}$

Alternativa C



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