Question

A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é expressa pela fórmula Sn=2n²-12n. Calcule o décimo quinto termo dessa progressão aritmética.

Answer 1

Utilizando formulações de termo geral e somatória de P.A., temos que o quinto termo desta P.A. é 6.

Explicação passo-a-passo:

A soma de qualquer P.A. é dada pela seguinte formula:

$S_n=(a_n+a_1)\frac{n}{2}$

Então temos que reescrever a nossa função soma para que fique neste formato:

$S_n=2n^2-12n$

Colocando n em evidência:

$S_n=(2n-12)n$

Colocando 1/2 em evidência:

$S_n=(4n-24)\frac{n}{2}$

Agora note que já temos este formato desejado, onde:

$4n-24=a_n+a_1$

E termo uma formula geral para an:

$a_n=a_1+r.(n-1)$

Substituindo na nossa equação acima, temos:

$4n-24=a_n+a_1$

$4n-24=r(n-1)+2a_1$

$4n-24=rn-r+2a_1$

Então vemos claramente que a razão r tem que ser igual a 4, então podemo substituir:

$4n-24=4n-4+2a_1$

$-24=-4+2a_1$

$-20=+2a_1$

$a_1=-10$

Assim sabemos o primeiro termo e a razão, então temos o termo geral:

$a_n=-10+4.(n-1)$

Assim basta substituir n por 5 para descobrirmos o quinto termo:

$a_5=-10+4.(5-1)$

$a_5=-10+16$

$a_5=6$

Assim temos que o quinto termo desta P.A. é 6.