Question

a soma dos n primeiros termos da pregressao aritmética (6,10,14...) é 510. calcule n

Answer 1

Sabemos que a fórmula da soma de termos de uma P.A. é:
$S_n= \frac{(a_1+a_n)*n}{2}$
Onde:
$S_n = Soma\\ a_1=Primeiro \ termo \\ a_n = Enesimo \ termo(ou \ ultimo)\\ n = numero \ de \ termos$
Note que temos o valor de:
a1 = 6, mas não sabemos quanto vale an, nem quanto vale n.

Vamos recorrer à fórmula do termo geral de uma P.A. para acharmos um valor que relacione an e n(ficará mais claro quando fizermos isto).

Sabemos também que:
$a_n=a_1+(n-1)r$
Substituindo na fórmula os dados que temos, teremos:
$a_n=6+(n-1)*4$
$a_n=6+4n-4\\ a_n=2+4n$

Repare que nós não sabemos o valor exato de an, mas sabemos que onde tem an, podemos substituir por 2+4n.

Vamos voltar para a fórmula da soma dos termos de uma P.A.:

$S_n= \frac{(a_1+a_n)*n}{2}$
Substituindo os valores que obtivemos, vamos ter:(note que onde tem an, colocaremos 2+4n).
$510 = \frac{(2+4n+6)*n}{2} \\ (8+4n)*n=510*2\\ 8n+4n^2=1020\\ 4n^2+8n-1020=0$
Podemos dividir toda a equação por 4 para simplificá-la:
$4n^2+8n-1020=0\\ n^2+2n-255=0$
Agora temos uma equação do 2º grau para resolver, basta resolvê-la por bháskara ou relações de Girard que obteremos o valor de n.

Por Girard, teremos:
$n'+n''=-b\\ n'*n''=c\\\\ n'+n''=-2\\ n'*n''=-255 n'=15 n''=-17$
Note que uma P.A. não tem número de termos negativos, então a resposta só pode ser:
n'=15
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OBS: Meu objetivo é lhe ajudar ensinando o que ainda não sabe e/ou tirando suas dúvidas. Desculpe se minha resposta foi extensa/cansativa repetindo coisas que você já sabe e caso não tenha entendido, pergunte. 

OBS 2: Tente ler e entender o que foi passado e refazer a questão sem olhar aqui. Faça mais exercícios parecidos para ficar craque e arrebentar na prova!

Espero que tenha lhe ajudado, qualquer dúvida, comente.Peço por favor que qualifique minha resposta se lhe ajudei
Bons estudos!