Question

A soma dos n primeiros termos da PA (1,4,7,10,...) é 1335. Determine o valor de n:

Answer 1

Formulas de P.A

$A_{n} = A_{1} + (n-1) r\\\\A_{total} = \frac{(A_{1} +A_{n} )n}{2}$

A questão deu os valores de:

$A_{1} = 1\\ A_{2} = 4\\ A_{3} = 7\\ A_{4} = 10\\ A_{total} = 1335$

Pegando o $A_{n} - A_{n-1} =$ razão

Substituindo n por 2

$A_{2} - A_{2-1} =\\ A_{2} - A_{1} = \\ 4 - 1 = 3$

r (razão) = 3

Agora utilizando a formula e resolvendo passo a passo:

$A_{total} = \frac{(A_{1}+A_{n} )n}{2}\\ \\ 1335 = \frac{(A_{1}+[A_{1}+(n-1)r])n}{2} \\ \\ 2670 = (A_{1}+[A_{1}+(n-1)r])n \\ \\ 2670 = (1+[1+(n-1)3])n\\ \\ 2670 = (1+[1+3n-3])n \\ \\ 2670 = (1+3n-2)n \\ \\ 2670 = (3n-1)n \\ \\ 2670 = 3n^{2}-1n \\ \\ 0 = 3n^{2}-1n-2670$

No final entra em uma questão de 2 Grau, usando a Bhaskara para resolver:

$0 = 3n^{2}-1n-2670\\ \\ a=3\\ b=-1\\ c=-2670\\ \\ n=\frac{-b+-\sqrt{b^{2}-4ac} }{2a} \\ \\ n=\frac{-(-1)+-\sqrt{-1^{2}-4*3*-2670} }{2*3} \\ \\ n=\frac{1+-\sqrt{1-12*-2670} }{6} \\ \\ n=\frac{1+-\sqrt{1+32040} }{6} \\ \\ n=\frac{1+-\sqrt{32041} }{6} \\ \\ n=\frac{1+-179 }{6} \\ \\ n_{A}=\frac{1+179 }{6} = \frac{180}{6} =30\\ \\ n_{B}=\frac{1-179 }{6} = \frac{-178}{6} = -29.6666667$

Como um dos n são valores quebrados então n so pode ser 30.

n = 30