Question

A soma dos n primeiros termos da P.A. (28, 26, 24,...) é zero. Quantos termos existem nessa P.A.?

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se que a soma dos "n" primeiros termos da pA abaixo é zero. Em função disso, pede-se o número de termos dessa PA.
A PA é esta:

(28; 26; 24; ......)

Note que temos aí em cima uma PA, cujo primeiro termo (a1) é igual a "28" e cuja razão (r) é igual a "-2", pois: 24-26 = 26-28 = - 2.

Agora vamos encontrar o termo de ordem "n", que será dado pelo termo geral de uma PA, cuja fórmula é esta;

an = a1 + (n-1)*r

Na fórmula acima, substituiremos "a1" por "28" e substituiremos "r" por "-2".
Assim, teremos;

an = 28 + (n-1)*(-2)
an = 28 + n*(-2) - 1*(-2)
an = 28 - 2n + 2 ---- ordenando, temos;
an = 28+2 - 2n
an = 30 - 2n  <----- Este é o valor do último termo, que está expresso em função de "n".

Agora vamos para a soma dos termos de uma PA, que é dada da seguinte forma:

Sn = (a1 + an)*n/2

Na fórmula acima, substituiremos "Sn" por "0", pois está informado que a soma dos "n" primeiros termos da PA dada é igual a zero. Por sua vez, substituiremos "a1" por "28", que é o primeiro termo da PA. Por seu turno, substituiremos "an" por "30-2n", que é o valor do último termo, expresso em função de "n".
Assim, fazendo as devidas substituições, teremos;

0 = (28 + 30-2n)*n/2 ----- desenvolvendo, temos;
0 = (58 - 2n)*n/2 ----- multiplicando em cruz, temos:
2*0 = (58 - 2n)*n ---- desenvolvendo os produtos indicados, ficamos:
0 = 58n - 2n² ------ vamos passar todo o 2º membro para o 1º, ficando:
2n² - 58n = 0 ----- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "2", com o que ficaremos assim:

n² - 29n = 0 ----- agora vamos pôr "n" em evidência, ficando:
n*(n - 29) = 0 ---- note que aqui temos o produto entre dois fatores, cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, então um dos fatores é nulo.
Assim, teremos as seguintes possibilidades:

ou
n = 0 ----> n' = 0
ou
n - 29 = 0 ---> n'' = 29


Note que o número de termos não poderá ser igual a zero, pois a PA tem vários termos. Logo, descartaremos a raiz para n = 0.
Portanto, ficaremos com a outra raiz que é esta:

n = 29 <---- Esta é a resposta. Este será o número de termos procurado.


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.