Question

A SOMA DOS INVERSOS DOS QUADRADOS DE DOIS NÚMEROS INTEIROS E CONSECUTIVOS É IGUAL A 25/144. QUAIS SÃO ESSES NÚMEROS?

Answer 1

Resposta: x = 3 ou x = - 4 => S = {- 4, 3}

Explicação passo-a-passo:

Um deles é dado por “x”;

O outro é dado por “x + 1”;

1/x² + 1/(x + 1)² = 25/144 =>

(x + 1)²/[x²(x + 1)²] + x²/[x²(x + 1)²] = 25/144 =>

[x² + (x + 1)²]/[x(x + 1)]² = 25/144 =>

[x² + (x + 1)²]/[x(x + 1)]² = (3² + 4²)/(3.4)² =>

[x² + (x + 1)²]/[x(x + 1)]² = [3² + (3 + 1)²]/[3.(3 + 1)]² *

* Perceba que não basta fazer x = 3, pois trata-se de termos quadráticos (do segundo grau), e com isso podem surgir novas soluções (soluções nem tão óbvias). Também é sabido que x² = (- x)², para todo valor real de x.

x² + (x + 1)² = 3² + 4² (i)

e

[x(x + 1)]² = (3.4)² (ii)

De (i) temos:

x² + (x² + 2x + 1) = 9 + 16 =>

2x² + 2x + 1 = 25 =>

2x² + 2x + 1 - 25 = 0 =>

2x² + 2x - 24 = 0 =>

2(x² + x - 12) = 0 =>

x² + x - 12 = 0 =>

x² + 4x - 3x - 12 = 0 =>

x(x + 4) - 3(x + 4) = 0 =>

(x - 3)(x + 4) = 0 =>

x = 3 ou x = - 4

De (ii) temos:

[x(x + 1)]² = (3.4)² =>

|x(x + 1)| = 3.4 =>

|x(x + 1)| = 12 =>

x(x + 1) = 12 => x = 3 ou x = - 4 - (De (i))

ou

x(x + 1) = - 12 =>

x² + x + 12 = 0 => Não existe “x” real que satisfaça tal equação quadrática => S = { }

Reunindo as soluções de (i) e também as de (ii), e depois fazendo a intersecção das respectivas reuniões, obteremos as duas únicas respostas:

x = 3 ou x = - 4 =>

S = {- 4, 3}

Abraços!