Question

A soma dos inversos das raízes da equação x²- 10x + 22= 0 é igual a:

a) 5/11
b)11/5
c) 10
d) -10
e) 5/22

Answer 1

Olá

$\mathtt{x^{2} - 10x + 22 = 0}$

Logo de início, saibamos que o inverso de qualquer número será:

$\boxed{\mathtt{\left(\dfrac{1}{x}\right)}}$

Usemos a fórmula de bháskara para retirar as raízes de x

$\mathtt{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}$

$\mathtt{x=\dfrac{-(-10)\pm\sqrt{(-10)^{2} - 4\cdot1\cdot22}}{2(1)}}$

Simplifiquemos os valores

$\mathtt{x=\dfrac{10\pm\sqrt{100-88}}{2}}$

$\mathtt{x=\dfrac{10\pm\sqrt{12}}{2}}$

$\mathtt{x=\dfrac{10\pm2\sqrt{3}}{2}}$

Retiremos as raízes

$\boxed{\mathtt{x'=\dfrac{10+2\sqrt{3}}2}~~>>~~5+\sqrt{3}}}$

$\boxed{\mathtt{x"=\dfrac{10-2\sqrt{3}}{2}~~>>~~5-\sqrt{3}}}$

Agora, sabendo as raízes, usemos o cálculo

$\mathtt{\left(\dfrac{1}{x'}\right)+\left(\dfrac{1}{x"}\right)}$

Substituamos os valores

$\mathtt{\left(\dfrac{1}{5+\sqrt{3}}\right)+\left(\dfrac{1}{5-\sqrt{3}}\right)}$

Racionalizemos os denominadores

$\mathtt{\left(\dfrac{1\cdot(5-\sqrt{3})}{5+\sqrt{3}\cdot(5-\sqrt{3})}\right)+\left(\dfrac{1\cdot(5+\sqrt{3})}{5-\sqrt{3}\cdot(5+\sqrt{3})}\right)}$

Multiplique os valores

$\mathtt{\left(\dfrac{5-\sqrt{3}}{25-5\sqrt{3}+5\sqrt{3}-3}\right)+\left(\dfrac{5+\sqrt{3}}{25+5\sqrt{3}-5\sqrt{3}-3}\right)}$

Cancele os opostos e reduza os semelhantes

$\mathtt{\left(\dfrac{5-\sqrt{3}}{22}\right)+\left(\dfrac{5+\sqrt{3}}{22}\right)}$

Ponha os valores sobre um mesmo denominador, já que são iguais

$\mathtt{\left(\dfrac{5-\sqrt{3}+5+\sqrt{3}}{22}\right)}$

Cancele os opostos e some os valores

$\mathtt{\left(\dfrac{5-\sqrt{\!\diagup\!\!\!\!\!3}+5+\sqrt{3\!\diagup\!\!\!\!\!}}{22}\right)}$

$\mathtt{\left(\dfrac{10}{22}\right)}$

Simplifique a fração por um fator 2

$\mathtt{\left(\dfrac{5}{11}\right)}$

Resposta correta Letra A

$\boxed{\mathtt{S =\left(\dfrac{5}{11}\right)}}~~\checkmark$