Question

a soma dos infinitos termos da série geométrica, ou seja da Progressão Geométrica onde

Answer 1

Resposta:

S = 2

Explicação passo-a-passo:

A fórmula da soma dos termos de uma PG infinita é:

                                              $S = \frac{a_{1}}{1 - q}$

Onde:

$S$ = soma dos infinitos termos da PG

$a_{1}$ = primeiro termo da PG

$q$ = razão da PG

Primeiro passo: Calcular $a_{1}$:

A questão informa que $a_{n} = (\frac{2}{3})^{n}$. Então:

$a_{1} = (\frac{2}{3})^{1}\\\\a_{1} = \frac{2}{3}$

Segundo passo: Calcular a razão $q$:

A razão de uma PG é calculada dividindo um termo pelo seu antecessor. Assim, $a_{1}$ é antecessor de $a_{2}$. Então, vamos calcular $a_{2}$ e depois, dividi-lo por $a_{1}$:

$a_{2} = (\frac{2}{3})^{2}$

$q = \frac{a_{2}}{a_{1}}\\\\q = \frac{(\frac{2}{3})^{2}}{(\frac{2}{3})^{1}}\\\\q = (\frac{2}{3})^{(2 - 1)}\\\\q = \frac{2}{3}$

Lembrete: divisão de potências de mesma base, mantém-se a base e subtraem-se os expoentes. ;)

Com $a_{1}$ e $q$ calculados, podemos descobrir a soma:

$S = \frac{a_{1}}{1 - q}\\\\S = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}}\\\\S = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}\\\\S = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}\\\\S = \frac{2}{3} \times \frac{3}{1}\\\\S = \frac{6}{3}\\\\S = 2$

Resp.: A soma dos infinitos termos da série geométrica, ou seja da Progressão Geométrica, onde $a_{n} = (\frac{2}{3})^{n}$, é 2.