Question

A soma dos elementos do conjunto formado por
todas as soluções, no intervalo [0,2π], da equação
2sen4(x) - 3sen2(x) + 1 = 0 é igual a

Answer 1

Primeiramente vamos resolver a equação trigonométrica

$\mathsf{2\,sen^4(x)-3\,sen^2(x)+1=0}\\\\ \mathsf{2\big[sen^2(x)\big]^{\!2}-3\,sen^2(x)+1=0}$

Faça uma mudança de variável

$\mathsf{sen^2(x)=t,\qquad com~0\le t\le 1}$

e a equação fica

$\mathsf{2t^2-3t+1=0}$

Esta é uma equação quadrática na variável t, e os coeficientes são

$\mathsf{a=2,~~b=-3,~~c=1.}\\\\\\ \mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=(-3)^2-4\cdot 2\cdot 1}\\\\ \mathsf{\Delta=9-8}\\\\ \mathsf{\Delta=1}$

$\mathsf{t=\dfrac{-\,b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\\\ \mathsf{t=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{1}}{2\cdot 2}}\\\\\\ \mathsf{t=\dfrac{3\pm 1}{4}}\\\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{t=\dfrac{3-1}{4}}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{t=\dfrac{3+1}{4}}\\\\ \mathsf{t=\dfrac{2}{4}}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{t=\dfrac{4}{4}}\\\\ \mathsf{t=\dfrac{1}{2}}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{t=1} \end{array}$

Substitua de volta para a variável x:

$\begin{array}{rcl} \mathsf{sen^2(x)=\dfrac{1}{2}}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{sen^2(x)=1}\\\\ \mathsf{sen(x)=\pm\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{sen(x)=\pm\,1}\\\\ \mathsf{sen(x)=\pm\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{sen(x)=\pm\,1}\\\\ \mathsf{x\in\Big\{\dfrac{\pi}{4},\,\dfrac{3\pi}{4},\,\dfrac{5\pi}{4},\,\dfrac{7\pi}{4}\Big\}}&\mathsf{\quad ou\quad}&\mathsf{x\in\Big\{\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{3\pi}{2}\Big\}}\\\\ \end{array}$

Conjunto solução:

$\mathsf{S=\Big\{\dfrac{\pi}{4},\,\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{3\pi}{4},\,\dfrac{5\pi}{4},\,\dfrac{3\pi}{2},\,\dfrac{7\pi}{4}\Big\}.}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)

Answer 2

A soma dos elementos do conjunto formado por  todas as soluções da equação é 9π.

Para responder corretamente esse tipo de questão, devemos levar em consideração que:

• Chamando sen²(x) de y, podemos escrever a equação como 2y² - 3y + 1 = 0;
• Com a solução da equação acima, temos quatro soluções para a equação original;

Utilizando essas informações,  resolvendo por Bhaskara, encontramos:

y' = 1 e y'' = 1/2

Temos então:

sen²(x) = 1

sen(x) = ±1

sen²(x) = 1/2

sen(x) = ±√2/2

As soluções para essas equações no intervalo dado formam o conjunto S = {0, π/4, π/2, 3π/4, π, 5π/4, 3π/2, 7π/4, 2π}. A soma desses elementos resulta em 9π.

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