Question

A soma dos dois primeiros números de certa linha do Triângulo de Pascal é 10. Quantos elementos dessa linha são menores que 50?

Answer 1

Utilizando noções de combinação de triangulo de Pascal, temos ao todo 6 elementos menores que 50 nesta linha.

Explicação passo-a-passo:

Em um triangulo de Pascal, o primeiro número sempre é 1 e o segundo sempre é o próprio número da linha, pois:

Primeiro termo da linha n:

$C_{0,n}=\frac{n!}{0!n!}=1$

Segundo termo da linha n:

$C_{0,n}=\frac{n!}{1!(n-1)!}=n$

Assim se estes dois números somados resultou em 10, significa que o primeiro é 1 e o segundo é 9, logo esta é a linha n=9.

Agora podemos encontrar o número de cada termo da linha:

$C_{0,9}=\frac{9!}{0!9!}=1$

$C_{1,9}=\frac{9!}{1!8!}=9$

$C_{2,9}=\frac{9!}{2!7!}=36$

$C_{3,9}=\frac{9!}{3!6!}=84$

Agora podemos parar aqui, pois o triangulo de pascal é simetrico, ou seja, ele vai continuar crescendo até o quinto termo que é o meio, e depois vai voltar a diminuir repetindo os números, ou seja, este três primeiros números que são menores que 50 vão repetir novamente no final da linha totalizando assim 6 elementos menores que 50.