Question

A soma dos dois primeiros números de certa linha do Triângulo de Pascal é 12. Quantos elementos dessa linha são menores que 60?

Answer 1

Utilizando noções de combinação de triangulo de Pascal, temos ao todo 6 elementos menores que 60 nesta linha.

Explicação passo-a-passo:

Em um triangulo de Pascal, o primeiro número sempre é 1 e o segundo sempre é o próprio número da linha, pois:

Primeiro termo da linha n:

$C_{0,n}=\frac{n!}{0!n!}=1$

Segundo termo da linha n:

$C_{0,n}=\frac{n!}{1!(n-1)!}=n$

Assim se estes dois números somados resultou em 12, significa que o primeiro é 1 e o segundo é 11, logo esta é a linha n=11.

Agora podemos encontrar o número de cada termo da linha:

$C_{0,11}=\frac{11!}{0!11!}=1$

$C_{1,11}=\frac{11!}{1!10!}=11$

$C_{2,11}=\frac{11!}{2!9!}=55$

$C_{3,11}=\frac{11!}{3!8!}=165$

Agora podemos parar aqui, pois o triangulo de pascal é simetrico, ou seja, ele vai continuar crescendo até o quinto termo que é o meio, e depois vai voltar a diminuir repetindo os números, ou seja, este três primeiros números que são menores que 60 vão repetir novamente no final da linha totalizando assim 6 elementos menores que 50.

Answer 2

São 6 elementos que são menores que 60.

O primeiro número de qualquer linha do triângulo de pascal é sempre 1, já o segundo termo é o número da linha (começando do 0), observe:            

Linha 0|  1

Linha 1|   1     1

Linha 2|  1     2     1

Linha 3|  1     3     3    1

...

Assim sendo, 12-1 = 11. A linha é 11.

Linha 11|  1    11     ...

Devemos achar quais são os resultados dos coeficientes binomiais que fazem com que ele seja menor que 60.

$\binom {11} 0~\binom {11} 1 ~\binom {11} 2 ~\binom {11} 3 ~...~ \binom {11} {11}\\\\C^{11}_0 = 1\\\\C^{11}_1 = 11\\\\C^{11}_2 = \frac{11!}{9!2!} = \frac{11.10}{2} = 55\\\\C^{11}_3 =  \frac{11!}{8!3!} = \frac{11.10.9}{6} = 165$

Ou seja, os três primeiros termos são menores que 60. Já que o triângulo é simétrico, os três últimos termos também serão menores. Logo, temos um total de 6 números.