Question

A soma dos dois algarismos de um numero e 6.Trocando os algarismos de lugar,o novo numero tem 18 unidades a menos que o numero original.Qual e o numero original?

Answer 1

Seja $x$ o número original de dois algarismos: $x="ab"\,,$ sendo $a$ e $b$ algarismos, isto é,

$a,\;b\in\left\{0,\;1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;6,\;7,\;8,\;9 \right \}$

(na verdade $a$ não pode ser zero, pois nesse caso o número $x$ não teria dois algarismos...)


De acordo com o enunciado

$a+b=6~~~~~~\mathbf{(i)}$


e o número $"ba"$ tem $18$ unidades a menos que o número $"ab".$


Como o nosso sistema de numeração é decimal, temos que o número original é

$x=10a+b~~~~~~\mathbf{(ii)}$


e o novo número é

$10b+a=x-18\\ \\ x=10b+a+18~~~~~~\mathbf{(iii)}$


Igualando $\mathbf{(ii)}$ e $\mathbf{(iii)}\,,$ temos

$10a+b=10b+a+18\\ \\ 10a-a+b-10b=18\\ \\ 9a-9b=18\\ \\ 9\cdot (a-b)=18\\ \\ a-b=\dfrac{18}{9}\\ \\ \\ a-b=2~~~~~~\mathbf{(iv)}$


Resolvendo o sistema formado pelas equações $\mathbf{(i)}$ e $\mathbf{(iv)}:$

$\left\{ \begin{array}{lc} a+b=6&~~~~\mathbf{(i)}\\ a-b=2&~~~~\mathbf{(iv)} \end{array} \right.$


Somando as duas equações membro a membro, obtemos

$a+a=6+2\\ \\ 2a=8\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}a=4 \end{array}}$


Portanto,

$4+b=6\\ \\ b=6-4\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}b=2 \end{array}}$

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O número original é $42.$