Question

A soma dos dez termos de uma P.A. é igual a -35. O último termo é igual ao número de termos. Qual é o primeiro termos dessa P.A.?

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se que a soma dos 10 termos de uma PA é igual a "-35" e que o último termo é igual ao número de termos. Pede-se o primeiro termo da PA.

Note que o termo geral de uma PA é dado pela seguinte fórmula:

an = a1 + (n-1)*r

Na fórmula acima, "an" é o termo que queremos encontrar. Por sua vez, "a1" é o primeiro termo. Por seu turno, "n" é o número de termos e, finalmente, "r" é a razão da PA.
Agora note: como o último termo é igual à razão, então vamos substituir "an" por "r". E, como a PA tem "10" termos, então substituiremos "n" por "10", com o que ficaremos assim:

r = a1 + (10-1)*r
r = a1 + (9)*r ---- ou apenas:
r = a1 + 9r ----- passando "9r" para o 1º membro, teremos:
r - 9r = a1
- 8r = a1 ----- ou, invertendo-se:
a1 = - 8r     <---- Este é o valor do 1º termo em função de "r".

Bem, agora vamos à fórmula da soma dos termos de uma PA, que é dada por:

Sn = (a1 + an)*n/2

Na fórmula acima, "Sn" é a soma dos "n" primeiros termos da PA. Como já vimos que essa soma é igual a "-35", então substituiremos "Sn" por "-35". Por sua vez, "a1" é o primeiro termo e, como já vimos que a1 = - 8r, então substituiremos "a1" por "-8r". Por seu turno, já vimos que an = r (pois o último termo é igual à razão); então substituiremos "an" por "r". E, finalmente, substituiremos "n" por "10", pois a PA tem 10 termos.
Assim, fazendo essas substituições, teremos:

- 35 = (-8r + r)*10/2
- 35 = (- 7r)*5 ----- efetuando o produto indicado, teremos que:
- 35 = - 35r ----- para facilitar, multiplicaremos ambos os membros por "-1", ficando:

35 = 35r ---- ou, invertendo-se;
35r = 35
r = 35/35
r = 1 <---- Este é o valor da razão (r) e do último termo (an = a10, pois a PA tem 10 termos).

Finalmente, agora, vamos encontrar qual é o valor do primeiro termo.
Como já vimos que o primeiro termo é igual a "-8r", então:

a1 = - 8r ------ substituindo "r" por "1", teremos;
a1 = -8*1
a1 = - 8 <---- Esta é a resposta. Este é o valor do 1º termo pedido.


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.