Question

A soma dos ângulos internos de três polígonos é igual a 3240°. Qual é o número de diagonais do maior polígono se o primeiro tem “n” lados, o segundo mede “n – 3” e o terceiro mede “n 3”?

Answer 1

O maior polígono possui 44 diagonais.

A soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada pela fórmula:

$S = (n-2)\times180$

Então, para os polígonos dados:

1º: $S_1 = (n-2)\times180$

2º: $S_2=(n-3-2)\times180=(n-5)\times180$

3º: $S_3=(n+3-2)\times180=(n+1)\times180$

E sabemos que a soma de todos eles é igual à 3240º:

$S_1+S_2+S_3=3240$

Desta forma, temos que:

$(n-2)\times180+(n-5)\times180+(n+1)\times180 = 3240\\\\180\times(n-2+n-5+n+1)=3240\\\\180\times(3n-6)=3240\\\\3n-6=\frac{3240}{180}\\\\3n-6=18\\\\3n=24\\\\n=\frac{24}{3}\\\\n=8$

Então:

O polígono 1 tem n lados: 8 lados

O polígono 2 tem n-3 lados: 8 - 3 = 5 lados

O polígono 3 tem n+3 lados: 8 + 3 = 11 lados

Portanto, o maior polígono é o 3º, com 11 lados.

O número de diagonais de um poligono é dado por:  

$d=\frac{n(n-3)}{2}$

onde 'd' é o numero de diagonais e 'n' é o numero de lados.

Então:

$d=\frac{11(11-3)}{2}\\\\d=\frac{11\times8}{2}\\\\d=44$

Portanto, o número de diagonais do maior polígono é 44.