A soma dos 5 primeiros termos de uma progressão aritmética de razão r é 50.
Soluções para a tarefa
A soma dos 4 primeiros termos da PG é 765/64.
Progressão geométrica
Uma progressão geométrica é caracterizada por uma sequência de valores crescentes, decrescentes ou alternados, onde a razão entre um valor e seu antecessor é sempre constante.
Do enunciado, temos que a soma dos 5 primeiros termos da PA de razão r é 50, logo:
S₅ = (a₁ + a₅)·5/2
50 = (2·a₁ + 4r)·5/2
2·a₁ + 4r = 20
Já a PG infinita tem razão q e soma 12, logo:
12 = a₁/(1 - q)
Se a₁ < 10 e q = r², teremos:
12 = a₁/(1 - r²)
a₁ = 12 - 12r²
2·a₁ + 4r = 20
2·(12 - 12r²) + 4r = 20
24 - 24r² + 4r - 20 = 0
-24r² + 4r + 4 = 0
Pela fórmula de Bhaskara, encontramos r' = -1/3 e r'' = 1/2. Como q = r²:
q' = (-1/3)² = 1/9
q'' = (1/2)² = 1/4
Para q':
12 = a₁/(1 - 1/9)
a₁ = 10,67 > 10
Para q'':
12 = a₁/(1 - 1/4)
a₁ = 9
Logo, a PG tem primeiro termo 9 e razão 1/4, logo, a soma dos 4 primeiros termos será:
S₄ = 9 + 9/4 + 9/16 + 9/64
S₄ = (576 + 144 + 36 + 9)/64
S₄ = 765/64
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