Question

A soma dos 5 primeiros termos da P.A é igual a -35 e a soma dos 10 primeiros termos é igual a 5. Qual a soma dos 15 primeiros termos desta P.A.

Answer 1

A soma é definida por: $S_{n}=\frac{(a_1+a_{n})n}{2}$

temos que:
$S_{5}=\frac{(a_1+a_{5})5}{2}=-35\\a_1+a_{5}=-14$
sabemos que numa pa a soma dos termos equidistantes têm o mesmo valor:
$2a_3=-14//a_3=-7$

da mesma forma:
$S_{10}=\frac{(a_1+a_{10})10}{2}=5\\a_1+a_{10}=1$
então:
$a_3+a_8=1//(-7)+a_8=1//a_8=8$

sabemos que de $a_3$ para $a_8$ temos 5 termos e 15 valores:
$a_8-a_3=8-(-7)=15$
logo a razão dessa PA será:
$r=\frac{15}{5}=3$

calculando o primeiro termo a partir do terceiro termo:
$a_n=a_k+r(n-k)\\a_1=a_3+r(1-3)\\a_1=-7+3(-2)//a_1=-13$
agora calcularemos o último termo:
$\\a_{15}=a_3+r(15-3)\\a_{15}=-7+3(12)//a_{15}=29$

Resposta:
$S_{15}=\frac{(-13+29)15}{2}//=\frac{16.15}{2}//=120$