A soma dos 23 primeiros termos de uma progressão aritmética de razão 4 é 1.173. Assim o 20º termo dessa progressão é:
a) 83 b) 85 c) 87 d)88 e) 92
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Vamos lá.
Pede-se o 20º termo de uma PA, sabendo-se ela ela tem 23 termos e que a razão (r) é igual a "4" e que a soma dos seus 23 termos é igual a 1.173.
Bem, veja que a soma dos termos de uma PG é dada da seguinte forma:
Sn = (a1 + an)*n/2
Na fórmula acima, temos que: "Sn" é a soma dos "n" primeiros termos da PA (que, no caso, é igual a 1.173); por sua vez, "a1" é o primeiro termo; por seu turno "an" é o último termo (que, no caso, será o 23º termo); e finalmente, "n" é o número de termos (que, no caso, é de 23 termos).
Assim, fazendo essas substituições, teremos:
1.173 = (a1 + a23)*23/2 ------- multiplicando em cruz, teremos:
2*1.173 = (a1 + a23)*23
2.346 = (a1 + a23)*23 ---- dividindo-se ambos os membros por "23", ficaremos apenas com:
102 = (a1 + a23) ou apenas:
102 = a1 + a23 ----- ou, invertendo-se:
a1 + a23 = 102
a23 = 102 - a1 . (I)
Agora vamos encontrar o valor de "a23" em função de "a1". Veja que isto poderá ser encontrado pela fórmula do termo geral de uma PA, que é dado por:
an = a1 + (n-1)*r
Na fórmula acima, substituiremos "an" por "a23"; substituiremos " n" por "23", pois a PA tem 23 termos; e, finalmente, substituiremos "r" por "4", que é o valor da razão da PA.
Assim, fazendo essas substituições, teremos:
a23 = a1 + (23-1)*4
a23 = a1 + (22)*4
a23 = a1 + 22*4
a23 = a1 + 88 <--- Este é o valor do "a23" em função do primeiro termo "a1".
Então vamos na expressão (I), que é esta:
a23 = 102 - a1 ---- substituindo-se "a23" por "a1+88", conforme encontramos aí em cima, teremos:
a1 + 88 = 102 - a1 ------ passando "-a1" para o 1º membro e passando "88" para o 2º membro, teremos:
a1 + a1 = 102 - 88
2a1 = 14
a1 = 14/2
a1 = 7 <--- Este é o valor do primeiro termo.
Assim, já temos todas as informações para encontrar qual é o 20º termo, bastando, para isso, utilizar, novamente, a fórmula do termo geral, que é esta:
an = a1 + (n-1)*r .
Como queremos encontrar o valor do 20º termo (a20), então substituiremos "an" por "a20"; por sua vez, substituiremos "a1" por "7" (que é o valor do primeiro termo, conforme acabamos de encontrar aí em cima); por seu turno, substituiremos "n" por "20", pois queremos encontrar o 20º termo; e, finalmente, substituiremos "r" por "4", que é o valor da razão da PA.
Assim, fazendo essas substituições, teremos:
a20 = 7 + (20-1)*4
a20 = 7 + (19)*4
a20 = 7 + 19*4
a20 = 7 + 76
a20 = 83 <--- Esta é a resposta. Opção "a".
Deu pra entender bem todo o desenvolvimento da questão?
OK?
Adjemir.
Pede-se o 20º termo de uma PA, sabendo-se ela ela tem 23 termos e que a razão (r) é igual a "4" e que a soma dos seus 23 termos é igual a 1.173.
Bem, veja que a soma dos termos de uma PG é dada da seguinte forma:
Sn = (a1 + an)*n/2
Na fórmula acima, temos que: "Sn" é a soma dos "n" primeiros termos da PA (que, no caso, é igual a 1.173); por sua vez, "a1" é o primeiro termo; por seu turno "an" é o último termo (que, no caso, será o 23º termo); e finalmente, "n" é o número de termos (que, no caso, é de 23 termos).
Assim, fazendo essas substituições, teremos:
1.173 = (a1 + a23)*23/2 ------- multiplicando em cruz, teremos:
2*1.173 = (a1 + a23)*23
2.346 = (a1 + a23)*23 ---- dividindo-se ambos os membros por "23", ficaremos apenas com:
102 = (a1 + a23) ou apenas:
102 = a1 + a23 ----- ou, invertendo-se:
a1 + a23 = 102
a23 = 102 - a1 . (I)
Agora vamos encontrar o valor de "a23" em função de "a1". Veja que isto poderá ser encontrado pela fórmula do termo geral de uma PA, que é dado por:
an = a1 + (n-1)*r
Na fórmula acima, substituiremos "an" por "a23"; substituiremos " n" por "23", pois a PA tem 23 termos; e, finalmente, substituiremos "r" por "4", que é o valor da razão da PA.
Assim, fazendo essas substituições, teremos:
a23 = a1 + (23-1)*4
a23 = a1 + (22)*4
a23 = a1 + 22*4
a23 = a1 + 88 <--- Este é o valor do "a23" em função do primeiro termo "a1".
Então vamos na expressão (I), que é esta:
a23 = 102 - a1 ---- substituindo-se "a23" por "a1+88", conforme encontramos aí em cima, teremos:
a1 + 88 = 102 - a1 ------ passando "-a1" para o 1º membro e passando "88" para o 2º membro, teremos:
a1 + a1 = 102 - 88
2a1 = 14
a1 = 14/2
a1 = 7 <--- Este é o valor do primeiro termo.
Assim, já temos todas as informações para encontrar qual é o 20º termo, bastando, para isso, utilizar, novamente, a fórmula do termo geral, que é esta:
an = a1 + (n-1)*r .
Como queremos encontrar o valor do 20º termo (a20), então substituiremos "an" por "a20"; por sua vez, substituiremos "a1" por "7" (que é o valor do primeiro termo, conforme acabamos de encontrar aí em cima); por seu turno, substituiremos "n" por "20", pois queremos encontrar o 20º termo; e, finalmente, substituiremos "r" por "4", que é o valor da razão da PA.
Assim, fazendo essas substituições, teremos:
a20 = 7 + (20-1)*4
a20 = 7 + (19)*4
a20 = 7 + 19*4
a20 = 7 + 76
a20 = 83 <--- Esta é a resposta. Opção "a".
Deu pra entender bem todo o desenvolvimento da questão?
OK?
Adjemir.
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