Question

a soma dos 15 primeiros termos de uma progressão aritmética e 150 o 8° termo dessa PA é:
a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
e) 30

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Risliany, que a resolução é simples (embora não seja tão usual).

Tem-se que a soma dos 15 primeiros termos de uma PA é igual a 150.
Dada essa informação, pede-se o valor do 8º termo (a₈).

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos para a fórmula da soma dos termos de uma PA, que é dada por:

Sn = (a₁ + an)*n/2

Como queremos a soma dos 15 primeiros termos e considerando que essa soma já foi dada (150), então substituiremos "Sn" por "150". Por sua vez, substituiremos "an" por "a₁₅", já que estamos querendo a soma dos 15 primeiros termos. E, finalmente, substituiremos "n" por "15" pelo mesmo motivo acima (estamos trabalhando com a soma dos 15 primeiros termos). Assim, fazendo essas substituições, ficaremos com:

150 = (a₁ + a₁₅)*15/2 ---- como "15/2" = "7,5", teremos:
150 = (a₁ + a₁₅)*7,5 ---- vamos apenas inverter, ficando:
(a₁ + a₁₅)*7,5 = 150 --- isolando "a₁+a₁₅" teremos:
a₁ + a₁₅ = 150/7,5 ---- note que esta divisão dá EXATAMENTE "20". Logo:

a₁ + a₁₅ = 20      . (I)

ii) Agora note uma coisa muito importante: numa PA a soma de dois termos equidistantes quaisquer será sempre a mesma.
Então, a partir da soma da expressão (I) acima, deveremos ter isto:

a₁ + a₁₅ = 20
a₂ + a₁₄ = 20
a₃ + a₁₃ = 20
a₄ + a₁₂ = 20
a₅ + a₁₁ = 20
a₆ + a₁₀ = 20
a₇ + a₉ = 20

iii) Agora note mais uma coisa importante: entre "a₇" e "a₉" está o "a₈" que é o termo que estamos procurando, certo?
E numa PA o termo do meio sempre será média aritmética dos dois extremos.
Ora, se temos estes três termos: a₇, a₈ e a₉, então o termo do meio (a₈) será média aritmética dos outros dois (a₇+a₉)/2. Assim, deveremos ter que:

a₈ = (a₇ + a₉)/2 ---- como já vimos que "a₇+a₉ = 20", então:

a₈ = (20)/2 --- ou apenas:
a₈ = 20/2
a₈ = 10 <--- Esta é a resposta. Opção "a".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

A soma dos n primeiros termos de uma P.A. é dada por 

$S= \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

Substituindo as informações que temos na formula, vem

$S= \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} \Rightarrow 150 = \dfrac{(a_1 + a_{15}) \cdot 15}{2} \\\\ 150 \cdot 2 = (a_1 + a_{15}) \cdot 15\\\\ \dfrac{300}{15} = a_1 + a_{15}\\\\ a_1 + a_{15} = 20$

Sabemos que  a₁₅ = a₁ + (n - 1)r, então, vamos substituir isso no no resultado anterior.

$20 = a_1 + a_{15} \Rightarrow 20 = a_1 + \left[ a_1 + (n -1) \cdot r \right]\\\\ como\;\;n=15\,\;\;temos\\\\ 20 = a_1 + \left[ a_1 + (15 -1) \cdot r \right]\\ 20 = a_1 + a_1 + 14 \cdot r\\ 20 = 2a_1 + 14 \cdot r\\\\ dividindo\; tudo\; por\; 2, temos\\\\ 10 = a_1 + 7 \cdot r$

Da definição de P.A., sabemos que

$a_n = (a, a + r, a + 2r, a + 3r, ...)$

onde a = 1º termo, a + r, 2º termo, a + 3r = 3º termo, etc


Então, 10 = a₁ + 7r é o 8º termo da P.A.. Logo, 

resposta: item a) 10