Question

a soma dos 15 primeiros termos de uma progressão aritmética é de 405 , e a soma dos seus 25 termos é 2050. Calcule o valor do 14° termo dessa PA​

Answer 1

Utilizando o método da adição, temos:Utilizando a equação do termo geral, temos:

$a_n=a_1+(n-1).r\\\\a_{15}=a_1+(15-1).r\\\\\boxed{a_{15}=a_1+14r}\\\\\\a_{25}=a_1+(25-1).r\\\\\boxed{a_{25}=a_1+24r}$

Utilizando a equação da soma de termos, temos:

$S_n=\frac{(a_1+a_n).n}{2}\\\\S_{15}=\frac{(a_1+a_{15}).15}{2}\\\\405~.~2~=~(a_1+a_1+14r).15\\\\2a_1+14r=\frac{810}{15}\\\\\boxed{a_1+7r=27}\\\\\\S_{25}=\frac{(a_1+a_{25}).25}{2}\\\\2050~.~2~=~(a_1+a_1+24r).25\\\\2a_1+24r=\frac{4100}{25}\\\\\boxed{a_1+12r=82}$

Agora, para achar o valor de a1 e r, podemos utilizar qualquer método de solução de sistemas de equação.

$-(a_1+7r)+(a_1+12r)=-27+82\\\\-7r+12r=55\\\\5r=55\\\\r=\frac{55}{5}\\\\\boxed{r=11}\\\\\\a_1+7r=27\\\\a_1=27-7~.~11\\\\\boxed{a_1=-50}$

Por fim, utilizando a equação do termo geral, achamos a14:

$a_{14}=a_1+(14-1).r\\\\a_{14}=-50+13~.~11\\\\a_{14}=-50+143\\\\\boxed{a_{14}=93}$